Обобщенная линейная регрессионная множественная модель

Классическая регрессионная модель может обобщаться в двух направлениях. Первое направления связано с отказом от предложения что независимые переменные являются не случайными величинами. Второе направление-это изучение линейной модели, в которой матрица ковариации вектора ошибок не обязательно является скалярной, а может быть произвольной, симметричной, положительно определенной матрицей. С помощью линейного преобразования исходную систему можно свести к обычному регрессионному уравнению и построить для него мнк оценку вектора коэффициентов. Эта оценка зависит от матрицы ковариации ошибки Е, а способ оценивания называют обобщенным мнк. Например при анализе временных рядов наблюдения в редких случаях не коррелированны во времени. Обычно значение исследуемой величины в текущий момент времени статистически зависит от ее значения в прошлом. это есть наличие корреляции в ошибках

Обобщенный метод наименьших квадратов.

омнк применяется в тех случаях когда нарушены условия мнк, касающиеся характера случайных остатков:1.постоянство дисперсий, 2 неколлинеарность остатков. Применение обычного мнк в модели, которой нарушены эти предпосылки, ведет к тому, что найденные параметры уравнения регрессии будут неэффективными оценками генеральных параметров. Кроме того их дисперсия будет рассчитана со смещением. Суть омнк состоит в том чтобы устранить нарушения условий мнк. Формула расчета коэффициентов имеет следующий вид:А^=(Xt*Ω*X)-¹*Xt*Ω-¹*Y

Ω-ковариационная матрица остатков,имеет вид:

Ω=[∑(e1-e1_)(e1-e1_),∑(e1-e1_(e2-e2_)…;∑(e2-e2_)(e1-e1_),∑(e2-e2_)(e2-e2_);…; ∑(en-en_)(e1-e1_), ∑(en-en_)(e2-e2_)] суммы этой матрицы представляют собой ковариацию остатков самих собой, т.е. дисперсию остатков для i-того наблюдения.

При омнк систему нормальных уравнений можно переписать в следующем виде:

a0+a1∑x1i+a2∑x2i+…+am∑xm=∑yi

a0∑x2i+a1∑x2i*x1i+…am∑xm*x1i=∑yix1i

…

a0∑xmi+a1∑x1i*xmi+a2∑x2i*xmi+…+am∑x²mi=∑yi*xmi

процедура омнк предполагает следующие этапы решения:1)к исходным данным применяется обычный мнк и рассчитываются остатки.2)выдвигается предположение о функциональной зависимости дисперсии остатков от каких либо факторов:σ²ei=d(x1,x2,..xm) 3)с помощью мнк рассчитывают параметры полученного выше уравнения, используя в качестве фактических значений зависимой переменной случайные остатки, вычисляемые на первом этапе. 4) по этой модели рассчитывают вырожденные значения остатков.