Элементы теории множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как ^[3] — «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

· пустое множество, обычно обозначается символом ;

· подмножество и надмножество;

· семейство множеств;

· пространство (Универсум);

· конституента.

Над множествами определены следующие операции:

· объединение (или сумма) (обозначается как );

· разность (обозначается как реже );

· дополнение (обозначается как или );

· пересечение (или произведение) (обозначается как );

· симметрическая разность (обозначается как реже ).

Для множеств определены следующие бинарные отношения:

· отношение равенства (обозначается как );

· отношение включения (обозначается как ).

Логические символы

Квантор - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".

Квантор - заменяет выражение "существует", "найдется".

Запись (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A илиB, то записываем .

2. Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в видеA = {a, b, c,...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись (или ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.