Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f".

Таким образом, f" (x) = (f' (x)) '.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾.

Итак, f⁽ⁿ⁾ (x) = (f^(n-1) (x)) ', n ϵ N, f⁽⁰⁾ (x) = f (x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf (x) = d (d^{n -1} f (x)), d ⁰ f (x) = f (x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то dx = const и d ² x = d ³ x =... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула dⁿf (x) = f ^{( n )}(x)(dx) ⁿ.

Общие правила нахождения высших производных