Кривые Безье

Математическое параметрическое представление координат точек кривой Безье имеет вид:

где базис Безье, или Бернштейна, или функция аппроксимации

— это i -я функция базиса Бернштейна порядка n. Здесь n — порядок определяющей функции базиса Бернштейна — на единицу меньше количества точек определяющего многоугольника (вершины многоугольника Безье нумеруются от 0 до n ¹, поэтому (0)⁰ ≡1 и 0! ≡1).

Кривые Безье бывают: элементарная, составная кубическая (это непрерывная кривая, являющая объединением элементарных кубических (n=3) кривых Безье, рациональные кривые Безье.

Свойства Кривой Безье:

() Функции базиса вещественны.

(-) Степень многочлена, определяющего участок кривой, на единицу меньше количества точек соответствующего многоугольника.

(-) При добавлении в массив хотя бы одной вершины возникает необходимость полного пересчета параметрических уравнений элементарной кривой Безье.

(-) Изменение хотя бы одной вершины в массиве приводит к заметному изменению всей кривой.

(-) Априорные сведения о расположении кривой Безье (принадлежность выпуклой оболочке заданного массива вершин) являются достаточно грубыми.

(-) В уравнении, описывающем элементарную кривую Безье, нет свободных параметров — заданный массив однозначно определяет кривую Безье, не давая возможности хоть как–то влиять на ее форму.

(-) Элементарные кривые Безье проекто-неинвариантны.

() Основа формы кривой повторяет очертания многоугольника.

(+) Первая и последняя точки кривой совпадают с первой и последней сторонами многоугольника.

(+) Кривая лежит внутри выпуклой оболочки многоугольника, т.е. внутри самого большого многоугольника, построенного по заданным точкам.

() Векторы касательных в концах кривой по направлению совпадают с первой и последней сторонами многоугольника.

(+) Кривая обладает свойствами уменьшения вариации. Это означает, что кривая пересекает любую прямую линию не чаще, чем определяющий многоугольник.

(+) Кривая инвариантна относительно аффинных преобразований.

(+) Являются гладкой прямой.

(+) Симметрична — сохраняет свою форму при перемене порядка вершин массива на противоположный.