Примеры решения задач. Пример 1. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной см, течет ток силой А

Пример 1. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной см, течет ток силой А. Найти магнитную индукцию в точке О пересечения диагоналей квадрата.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 41). Расположим квадратный виток в плоскости чертежа. В точке О определим с помощью правила правого буравчика (векторного произведения) направления , , и , создаваемые токами, протекающими по каждой стороне квадрата.

1. Согласно принципа суперпозиции полей, результирующее поле в точке О

В точке О все векторы индукции направлены перпендикулярно плоскости витка («от нас»).

Из симметрии следует, что модули этих векторов одинаковы . Следовательно, .

2. Индукция магнитного поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой

где , , .

3. Получим расчетную формулу для первого элемента контура

4. Результирующая индукция в центре квадрата равна

5. Проведем вычисление

мТл.

Ответ: мТл.

Пример 2. С какой силой действует магнитное поле постоянного электрического тока силой А, текущего по прямолинейному бесконечно длинному проводнику, на контур из провода, изогнутого в виде квадрата? Проводник расположен в плоскости контура параллельно двум его сторонам. Длина стороны контура , сила тока в нем А. Расстояние от прямолинейного тока до ближайшей стороны контура .

Решение. Сделаем рисунок (рис. 42). Квадратная рамка с током находится в неоднородном магнитном поле прямого тока. Индукция магнитного поля бесконечного прямого тока

, (1)

где r - кратчайшее расстояние от оси проводника до точки, в которой рассчитывается B.

1. Вектор во всех точках рамки направлен перпендикулярно к плоскости рамки. Каждая из сторон рамки - прямолинейный проводник. Поэтому в пределах одной стороны все элементарные силы параллельны друг другу.

2. Стороны контура 2 и 4 одинаково расположены по отношению к прямолинейному проводнику, но направления тока в них противоположны, поэтому

Результирующая этих сил равна нулю.

3. Стороны контура 1 и 3 параллельны прямому току и находятся от него на расстояниях соответственно и . Силы и направлены в противоположные стороны. Поэтому результирующая сила

ее модуль

4. Подставив выражения для r в формулу (1) и учитывая закон Ампера, получим:

для первого элемента контура ;

для третьего элемента контура .

5. Получим расчетную формулу для результирующей силы действующей на контур

6. Выполним расчеты

Н.

Ответ: Н.

Пример 3. Плоский квадратный контур со стороной см, по которому течет ток силой , свободно установился в однородном магнитном поле ( Тл). Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Изобразим контур с током в магнитном поле (рис. 43).

1. На контур с током в магнитном поле действуют силы Ампера, которые в данном случае образуют вращающую пару сил.

2. Вращающий момент пары сил по определению есть произведение плеча на силу и синус угла между ними:

3. С другой стороны можно записать

где - магнитный момент контура; j - угол между векторами и .

4. В начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом вращающий момент равен нулю , а, значит, , т.е. векторы и совпадают по направлению. Если внешние силы выводят контур с током из положения равновесия, то возникает момент сил, стремящийся возвратить контур в исходное положение - положение устойчивого равновесия. Против этого момента и будет совершаться работа внешних сил. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу для работы при вращательном движении в дифференциальной форме

Подставляя сюда выражение для M, получаем

Возьмем интеграл от этого выражения и найдем работу при повороте контура на любой конечный угол

5. Работа магнитного поля при повороте на угол

6. Выразим численные значения в единицах СИ: ; Тл; м.

7. Рассчитаем работу

Дж.

Ответ: Дж.

Пример 4. Квадратный контур со стороной , в котором течет ток 8,0 А, находится в магнитном поле с индукцией 0,50 Тл. Плоскость контура образует с направлением линий индукции угол . Какую работу совершат силы Ампера, если при неизменной силе тока в контуре его форму изменить с квадрата на окружность (рис. 44)?

Решение.

1. Работа сил магнитного поля равна

, (1)

где и - магнитные потоки сквозь площадь квадрата и окружности. Магнитное поле в пределах контура однородно, а поверхность контура плоская, следовательно

, (2)

учитывая это

; (3)

; (4)

; (5)

, (6)

где R - радиус окружности.

2. Периметры контуров равны: , откуда

. (7)

3. Подставляя (3)-(7) в (1), получаем расчетную формулу:

;

4. Выполним расчеты

Дж.

Ответ: Дж.

Пример 5. В однородном магнитном поле с индукцией Тл вокруг оси, параллельной линиям индукции, вращается тонкий проводящий стержень длиной . Ось вращения перпендикулярна к стержню и проходит через один из его концов (рис. 45). Угловая скорость вращения стержня . Найти разность потенциалов между концами стержня.

Решение. 1. Запишем уравнение электромагнитной индукции Фарадея:

, (1)

где dФ - элементарное изменение потока магнитной индукции, сцепленного со стержнем.

2. Разность потенциалов между концами стержня равна по модулю и противоположна по знаку ЭДС индукции , возникающей в нем при вращении в магнитном поле:

, (2)

где B - индукция магнитного поля; dS - площадь, описываемая стержнем за время dt.

3. Найдем элементарную площадь формируемую стержнем при его вращении

, (3)

где - угол поворота стержня за время dt.

4. Подставляем (3) в (2) и, используя, что , получаем расчетную формулу

. (4)

5. Выполним расчеты искомой величины

В.

Ответ: В.

Пример 6. В однородном магнитном поле с индукцией Тл движется протон. Траектория его движения представляет винтовую линию радиуса см с шагом см. Заряд протона равен Кл, масса - кг. Вычислить кинетическую энергию W протона.

Решение. 1. Составляющая скорости (см. рис. 46) не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Составляющая скорости под действием силы Лоренца непрерывно меняет направление, оставаясь постоянной по модулю.

Таким образом, протон участвует в двух движениях: равномерном прямолинейном со скоростью параллельно линиям индукции (вдоль оси OX) и по окружности со скоростью (постоянной по модулю) в плоскости YOZ.

2. Кинетическая энергия протона:

, (1)

где

. (2)

3. Шаг винтовой линии (смещение вдоль оси OX за время T одного оборота) равен

, (3)

а период

, (4)

поэтому

. (5)

4. Второй закон Ньютона в случае криволинейного движения имеет вид

, (6)

отсюда найдем перпендикулярную составляющую скорости

. (7)

5. Подставляя выражения (5) и (7) в формулы (1) и (2), получим расчетную формулу для энергии

или ;

Дж.

Ответ: Дж.

Пример 7. Соленоид содержит витков. Сечение сердечника из немагнитного материала имеет площадь см². Длина соленоида см. По обмотке соленоида протекает ток А. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает в соленоиде, если ток уменьшается практически до нуля за время мс.

Решение.

1. Основной закон электромагнитной индукции:

, (1)

где Y - потокосцепление контура, определяемое по формуле

, (2)

где L - индуктивность контура.

2. Объединяя (2) и (1), при , получаем:

. (3)

3. Среднее значение ЭДС самоиндукции

, (4)

где .

4. Индуктивность соленоида

, (5)

где n - число витков на единицу длины; магнитная проницаемость среды , магнитная постоянная Н/А.

5. Объединив (1)-(4) получим расчетную формулу:

; (6)

6. Произведем расчеты

В.

Ответ: В.

Пример 8. Найти энергию W магнитного поля катушки длиной , состоящей из витков, вплотную прилегающих друг к другу (стержень изготовлен из немагнитного материала). Диаметр катушки см, а сила тока мА.