2015-04-01
1146
Для построения гистограммы надо рассчитать относительные частоты. Объем выборки: n=5+8+16+12+9=50. Длина интервалов: h=2. Относительные частоты определяются по формуле: 
. Их значения равны для соответствующих интервалов: 0.1; 0.16; 0.32; 0.24; 0.18. Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы. Для ее построения на оси х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования, на них строят прямоугольники высотой, равной относительной частоте. Для заданного примера гистограмма приведена на Рис. 12.
Рис.12
5. Из нормальной генеральнойсовокупности с параметрами 
с известным средним квадратическим отклонением 
извлечена выборка объема 
и по ней найдена выборочная средняя 
. Требуется при уровне значимости 
по сгруппированным данным проверить нулевую гипотезу 
при конкурирующей гипотезе 
.
Решение. Данная задача относится к задачам проверки статистических гипотез, а именно, производитсясравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней для нормальной совокупности, если дисперсия генеральной совокупности известна.
Для того, чтобы при заданном уровне значимости 
проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней 
нормальной совокупности с известной дисперсией 
гипотетическому (предполагаемому) значению 
, при конкурирующей гипотезе 
, надо:
- вычислить наблюдаемое значение критерия 
,
- по таблице значений функции Лапласа найти критическую точку 
двусторонней критической области из равенства 
.
Если 
- нулевую гипотезу принимают, если 
- нулевую гипотезу отвергают. Найдем наблюдаемое значение критерия:
; 
.
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя.
Найдем критическую точку из равенства 
. По таблице функции Лапласа находим 
. Так как 
- нулевую гипотезу отвергаем, т.е выборочная и гипотетическая средние различаются значимо.
Ответ. Гипотеза о том, что параметр нормальной генеральной совокупности равен 26, отвергается, т.к. не соответствует выборочным данным.
5. Найти выборочное уравнение линейной регрессии 
на 
по данным корреляционной таблицы.
  | ||||||
| - | - | - | ||||
| - | - | - | ||||
| - | - | |||||
| - | - |
Решение. В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по нескольку раз, причем с одним значением варианты может встретиться несколько вариант , их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечают частоту 
выбора соответствующей пары (
). Частоты вариант находят как суммы по строкам и столбцам: 
. Очевидно, что 
- объем выборки.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид 
,
где 
- выборочные средние для случайных величин и ; 
- выборочные средние квадратические отклонения; 
- выборочный коэффициент корреляции, причем 
, 
.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид 
.
Если данные наблюдений над признаками и заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам: 
, 
, где 
- «ложный нуль» вариант (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); 
- шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами ; 
- ложный путь вариант ; 
- шаг вариант .
В этом случае выборочный коэффициент корреляции 
, 
.
Величины 
могут быть найдены по формулам: 
.
По этим значениям можно определить входящие в уравнения регрессии величины по формулам: 
.
В заданной корелляционной таблице выберем в качестве ложных нулей 
. Шаг варианты 
, шаг варианты 
. Для упрощения расчетов введем условные варианты 
и составим преобразованную корреляционную таблицу с условными вариантами, в которую внесем значения 
:
  | -3 | -2 | -1 |  | |||
| -1 | - | - | - | ||||
| - | - | - | |||||
| - | - | ||||||
| - | - | ||||||
 |  |
Затем составим новую таблицу, в которую внесем найденные значения 
в правый верхний угол заполненной клетки и 
в левый нижний угол, по центру остается частота. После этого суммируем верхние значения по строкам для получения значений 
и нижние значения по столбцам для 
и подсчитаем величины 
:
| | -3 | -2 | -1 | |  | |||
| -1 | -6 -2 | -2 -1 | - | -7 | - | - | -8 | |
| -12 | - | -2 | - | - | -8 | |||
| - | -10 | - | -1 | -1 | ||||
| - | - | -3 | ||||||
| | -2 | - |  | |||||
 | -8 | -6 | | - |
Проверяем суммы , получаем 
.
Находим 
(умножаем значение варианты на сумму ее частот и находим среднее арифметическое этих величин):
Находим 
:
Определяем 
:
Вычисляем выборочный коэффициент корреляции :
Осуществим переход к исходным вариантам:
Находим уравнение линии регрессии на : 
или 
. Аналогично, уравнение линии регрессии на :
или 
.
Ответ. Линии регрессии имеют вид: и .
Варианты заданий контрольной работы № 8
Таблица 6. Варианты задания 1
| № варианта | Задача. |
| В урне 20 шаров с номерами № 1, № 2, № 3, …,№ 20. Какова вероятность вынуть шар с № 37? | |
Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна  , вторым стрелком -  , третьим -  . Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель. | |
| В ящике 10 деталей, из которых 4 – окрашены. Наудачу взяли 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окрашена. | |
| Брошено 6 игральных костей. Найти вероятность события, заключающегося в том, что на всех костях окажется разное количество очков. | |
| Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна , вторым стрелком - , третьим - . Определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок. | |
| Эксперимент состоит в подбрасывании двух костей. Найти вероятность того, что выпадет дубль. | |
| В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8 белых и 5 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые? | |
| В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8 белых и 5 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой черный. | |
| Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика. | |
| В ящике имеется N изделий, среди которых могут быть и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось набракованным. Определить вероятность того, что: а) все изделия в ящике небракованные; б) N-1 изделий небракованных и одно изделие бракованное (в предположении равновозможности любого состава изделий). | |
| В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули 2 шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые. | |
| В ящике а белых и б черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой черный? (Вынутый шар в урну не возвращается.) | |
| В первом ящике 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных и 4 синих. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих? | |
Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна  . Какова вероятность того, что в течение 4 дней подряд не произойдет ни одной неполадки? | |
Однотипные приборы изготавливаются 3 заводами в количественном отношении:  . Причем вероятности брака для этих заводов:  . Приобретенный прибор оказывается бракованным. Какова вероятность того, что прибор выпущен первым заводом. | |
Число грузовых машин, проезжающих по шоссе на котором стоит бензоколонка, относится к числу проезжающих легковых машин как  . Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться равна  , легковая -  . Какова вероятность того, что проезжающая машина приедет на заправку. | |
Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих датчика. Вероятность того, что при аварии сработает: первый датчик  , для второго - . Найти вероятность того, что при аварии сработает только один датчик. | |
| В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу 3 шара. Какова вероятность того, что все шары белые? | |
| В колоде 52 карты, вытаскивают одну карту. Найти вероятность того, что: а) вынули туз, б) вынули карту черной масти. | |
При одном цикле обзора объект обнаруживается с вероятностью  . Какова вероятность, что объект будет обнаружен при 3-х циклах обзора. При каждом цикле объект обнаруживается независимо. | |
Между двумя игроками проводится  партий, причем каждая партия заканчивается выигрышем или проигрышем. Все возможные исходы равновероятны. Какова вероятность того, что определенный игрок выиграет  партий. | |
Производится 3 выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна  . Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов будет только одно попадание | |
В зале насчитывается  мест, случайным образом занимают места человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные мест ( ). | |
 футбольных команд разбиваются на 2 подгруппы. Определить вероятность того, что 2 наиболее сильные команды, окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе. | |
| В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны: а)два мальчика; б)девочка и мальчик? |
Таблица 7. Варианты задания 2
| № варианта | Задача. |
Вероятность появления события А равна  . Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не больше трех раз? | |
| Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет 3 девочки и 2 мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми. | |
| Две игральные кости подбрасываются 7 раз. Найти вероятности событий: а) сумма очков равная 7 выпадет дважды. б) сумма очков равная 7 выпадет по крайне мере 1 раз. | |
| Две игральные кости подбрасываются 7 раз. Найти вероятности событий: а) ни разу не выпадет сумма равная 12 очкам; б) каждый раз выпадет сумма больше 7; | |
| Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность, что герб выпал 3 раза. | |
Вероятность того, что стрелок попадет в десятку равна  , в девятку -  . Определить вероятность того, что данный стрелок при 3-х выстрелах наберет 29 очков. | |
| Станок – автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали . Определить вероятность того, что за 3 смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали. | |
| Вероятность того, что при одном измерении некоторой величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность равна . Произведено 3 независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. | |
Стрелок с вероятностью  попадает в яблочко. Произведено 5 выстрелов. Найти вероятности событий: а) хотя бы одно попадание в яблочко; б) ровно одно попадание в яблочко. | |
| Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаряды попадают в цель независимо друг от друга. Для каждого снаряда вероятность попадания равна . Если в цель попал первый снаряд, он поражает цель с вероятностью , если второй - , если третий - . Найти вероятность поражения цели. | |
| Два противника играют в шахматы только до победы (вероятность выигрыша у каждого равна 0.5). Что вероятнее: выиграть одну из двух, две из четырех. | |
| Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше 3-х девочек (вероятность рождения девочки 0.55). | |
| Монета подбрасывается 6 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх? | |
| Монета подбрасывается 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше 3-х раз? | |
| В классе 30 учеников: 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка? | |
| В каждом из 4-х ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара? | |
Вероятность появления события  равна . Какова вероятность того, что событие появится не больше трех раз в пяти испытаниях? | |
| Вероятность попадания стрелком в десятку равна , в девятку - . Определить вероятность того, что данный стрелок при 3-х выстрелах наберет 29 очков. | |
| Две игральные кости подбрасываются 7 раз. Найти вероятности событий: а)ни разу не выпадет сумма равная 12 очкам; б) каждый раз выпадет сумма больше 7; | |
| Брошено 6 игральных костей. Найти вероятность события, заключающегося в том, что на всех костях окажется разное количество очков. | |
| Монета подбрасывается 6 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх? | |
| Вероятность появления события А равна . Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не больше трех раз? | |
| Два противника играют в шахматы только до победы (вероятность выигрыша у каждого равна 0.5). Что вероятнее: выиграть одну из двух или две из четырех. | |
| Два противника играют в шахматы только до победы (вероятность выигрыша у каждого равна 0.5). Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть не менее 2 из 4 партий или не менее 3-х из 5? | |
| Стрелок с вероятностью попадает в яблочко. Произведено 5 выстрелов. Найти вероятности событий: а) ровно 2 попадания в яблочко; б) не менее 3-х попаданий в яблочко. |
Таблица 8. Варианты задания 3
| № варианта | Задача. |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью  , причем  . Найти: а) коэффициент а, б) вероятность попадания X в промежуток  . | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти: а) коэффициент а, б)математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X задана функцией распределения  . Найти плотность распределения и дисперсию случайной величины. | |
Дана плотность распределения случайной величины Х:  . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
Дана плотность распределения случайной величины X:  . Найти: а) коэффициент а, б) функцию распределения  . | |
Дана функция распределения:  . Найти: математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X задана функцией распределения  . Вычислить вероятность попадания случайной величины X винтервалы: а) (1.5; 2.5), б (2.5; 3.5). | |
Случайная величина X характеризуется рядом распределения  . Найти математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти математическое ожидание и дисперсию. | |
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем  . Найти: а) коэффициент а, б) функцию распределения . | |
| Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем . Найти математическое ожидание и дисперсию. | |
| Случайная величина X характеризуется рядом распределения . Найти математическое ожидание и дисперсию. | |
| Дана функция распределения: . Найти: математическое ожидание и дисперсию. | |
| Дана плотность распределения случайной величины X: . Найти: а) коэффициент а, б) функцию распределения . | |
| Случайная величина X задана функцией распределения . Найти плотность распределения и дисперсию. | |
| Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
| Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
| Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем . Найти: а) коэффициент а, б) математическое ожидание и дисперсию. | |
| Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью , причем . Найти: а) коэффициент а, б) вероятность попадания X в промежуток . | |
Дана функция  . Найти математическое ожидание и дисперсию. |
Таблица 9. Варианты задания 4
| Вариант |  |  |  | Вариант | | | |
| 2-4 | 2-5 | ||||||
| 4-6 | 5-8 | ||||||
| 6-8 | 8-11 | ||||||
| 8-10 | 11-14 | ||||||
| 10-12 | 14-17 | ||||||
| 3-7 | 10-14 | ||||||
| 7-11 | 14-18 | ||||||
| 11-15 | 18-22 | ||||||
| 15-19 | 22-26 | ||||||
| 19-23 | 26-30 | ||||||
| 10-12 | 5-10 | ||||||
| 12-14 | 10-15 | ||||||
| 14-16 | 15-20 | ||||||
| 16-18 | 20-25 | ||||||
| 18-20 | 25-30 | ||||||
| 3-7 | 10-20 | ||||||
| 7-11 | 20-30 | ||||||
| 11-15 | 30-40 | ||||||
| 15-19 | 40-50 | ||||||
| 19-23 | 50-60 | ||||||
| 4-8 | 15-30 | ||||||
| 8-12 | 30-45 | ||||||
| 12-16 | 45-0 | ||||||
| 16-20 | 60-75 | ||||||
| 20-24 | 75-90 | ||||||
| 7-9 | 20-40 | ||||||
| 9-11 | 40-60 | ||||||
| 11-13 | 60-80 | ||||||
| 13-15 | 80-100 | ||||||
| 15-17 | 100-120 | ||||||
| 5-8 | 2-6 | ||||||
| 8-11 | 6-10 | ||||||
| 11-14 | 10-14 | ||||||
| 14-17 | 14-18 | ||||||
| 17-20 | 18-22 | ||||||
| 4-6 | 14-16 | ||||||
| 6-8 | 16-18 | ||||||
| 8-10 | 18-20 | ||||||
| 10-12 | 20-22 | ||||||
| 12-14 | 22-24 | ||||||
| 1-5 | 5-10 | ||||||
| 5-9 | 10-15 | ||||||
| 9-13 | 15-20 | ||||||
| 13-17 | 20-25 | ||||||
| 17-21 | 25-30 | ||||||
| 10-14 | 3-5 | ||||||
| 14-18 | 5-7 | ||||||
| 18-22 | 7-9 | ||||||
| 22-26 | 9-11 | ||||||
| 26-30 | 11-13 | ||||||
| 20-22 | 4-9 | ||||||
| 22-24 | 9-14 | ||||||
| 24-26 | 14-19 | ||||||
| 26-28 | 19-24 | ||||||
| 28-30 | 24-29 | ||||||
| 5-7 | 4-10 | ||||||
| 7-9 | 10-16 | ||||||
| 9-11 | 16-22 | ||||||
| 11-13 | 22-28 | ||||||
| 13-15 | 28-34 | ||||||
| 11-14 | |||||||
| 14-17 | |||||||
| 17-20 | |||||||
| 20-23 | |||||||
| 23-26 |
Таблица 10. Варианты задания 5
| Вариант | |  |  | Вариант | | | |
Таблица 11. Варианты задания 6
| Вариант | Корреляционная таблица | Вариант | Корреляционная таблица | |||||||||||||
| | | |||||||||||||||
| | | |||||||||||||||
| | | |||||||||||||||
| | | |||||||||||||||
| | | |||||||||||||||
| | | |||||||||||||||
|
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
 Сейчас читают про:
  8208 8059 |
