Правила обоснования в логике и математике

Практически во всех науках не рекомендуется строить противоречивые высказывания. Однако только в науках логико-математического круга требование непротиворечивости является абсолютно обязательным и практически единственным. В этих науках вводится некий набор терминов, а затем произвольным образом задается структура операций с этими терминами. Признаются корректными только те из структур, которые при любых заданных операциях не смогут привести к противоречию. На заре истории, правда, правила построения математических структур вырастали из мистического представления о самоочевидности этих правил. Действительно, если А=В и В =С, то неизбежно (как говорили древние: аподиктически, т. е. «с непреложной очевидностью») следует принять, что А= С (аксиома транзитивности). Однако все же в процессе истории многие непреложные истины были подвергнуты сомнению.

Произведем простое рассуждение, оспаривающее, например, аксиому транзитивности. Пусть интенсивность раздражителя А меньше интенсивности раздражителя В на величину, наполовину меньше порога различения. Интенсивности этих раздражителей тем самым субъективно не отличаются друг от друга, т. е. А=В. Пусть интенсивность раздражителя В, в свою очередь, на ту же величину меньше интенсивности раздражителя С. Соответственно, субъективно и В = С. Но при этом различие между А и С достигает пороговой величины, следовательно, эти раздражители воспринимаются как субъективно неравные, т. е. А<С. Значит, аксиома транзитивности не всегда верна. В чем же тогда непреложность очевидности этой аксиомы? Возможно возражение: в примере речь идет о субъективном равенстве, а аксиома говорит о равенстве объективном. Но еще Гераклит и Платон говорили: объективного равенства вообще нет в природе. Даже в одну и ту же реку нельзя войти дважды. Если говорят, что А= В, то это, очевидно, означает лишь субъективное приравнивание друг к другу двух разных А и В – ведь А и по обозначению, и по сути изначально не есть В. (Если сказанного недостаточно, то желающие могут посмотреть, как об этом весьма пространно рассуждает Гегель.)

Математика исторически появляется в рамках мистического познания, когда посвященные начинают дарить своим ученикам свет Истины. Они учат их выводить из заведомо очевидных, а следовательно, Истинных высказываний (аксиом) по заведомо очевидным Истинным правилам вывода новое Истинное знание и тем самым описывают, как они полагают, Истинную гармонию мира. Неожиданно выясняется, что полученный в итоге результат может и не обладать свойством очевидности. Пифагорейцы, например, были потрясены идеей иррациональных чисел. Существование таких чисел заранее ими никак не предполагалось, они казались невероятными. Потому и знакомство с теоремой Пифагора было даровано только посвященным.

Так родилась норма: если все преобразования делать правильно, то и независимый от осуществляющего их мудреца результат преобразований будет правильным, даже если он будет казаться непонятным.

Отход математики от требования субъективной очевидности всех проводимых операций протекал долго и болезненно. Лишь в XIX в. стало появляться предчувствие, что единственно Истинных аксиом и несомненно достоверных Истинных правил вывода вообще не существует. Но тогда в принципе можно придумывать любые аксиомы и создавать любые правила игры. Создание новых логических и математических структур есть лишь создание правил новых математических игр, где одни признанные аксиоматически правильными высказывания преобразуются в другие. Математика сродни мифотворчеству, – утверждал великий математик XX в. Г. Вейль. «Аксиомы, – признавался А. Эйнштейн, – свободные творения человеческого разума». Важно лишь, чтобы и аксиомы, и правила для самих играющих были однозначны и не приводили в итоге к противоречию. Играющий в преферанс в принципе не способен выиграть у человека, играющего в этот момент в подкидного дурака. Нельзя ни назвать какую-либо одну из игр верной, ни оценить, кто из игроков, играющих в разные игры, играет лучше. Так и в логико-математических науках – оценке подлежит только одно: может ли данное высказывание быть получено из заданной системы аксиом путем тавтологических преобразований (т. е. преобразований по заданным правилам) самих этих аксиом. В этих науках нет и не может быть критерия оценки истинности высказывания как достоверного высказывания об окружающем мире, есть только критерий оценки правильности, корректности высказывания.

Сами по себе разные игры отнюдь не обязательно должны быть согласованы между собой и взаимно непротиворечивы. Соответственно, разных математических структур может быть много, и они вполне могут противоречить друг другу. Сами математики тоже осознали это далеко не сразу. Творцы неэвклидовой геометрии К. Ф. Гаусс и Н. И. Лобачевский еще не могли допустить возможность существования множества равно корректных геометрий и хотели понять, какая из геометрий более правильная. Специалистам лишь спустя почти столетие после создания неэвклидовой геометрии стало понятно, что могут развиваться совершенно разные математические структуры, просто применяться они должны к разным задачам. Г. Минковский в начале XX в. создал псевдоэвклидовую геометрию. В ней дополнительным к обычной эвклидовой геометрии и не противоречащим ее аксиомам правилом – новой аксиомой – было утверждение о существовании не менее двух прямых, которым запрещено проходить через каждую точку. В итоге оказалось, что хотя в этой странной геометрии не верна теорема Пифагора, но зато она хорошо подходит к описанию специальной теории относительности.

Но все-таки логика и математика – это не игра в бисер. Как правило, и логики, и математики конструируют и развивают такие структуры, которые интуитивно кажутся им осмысленными, привязанными к внутреннему или внешнему миру.

Что именно побуждает логиков и математиков создавать логико-математические структуры? Факт, что результаты математической работы никогда не оцениваются по непосредственной пользе. Оценивается красота найденного приема доказательства, возможность использования этого приема в других исследованиях, логическая завершенность и строгость изложения и т. п. Другое дело, что математики живут в реальном социокультурном мире, а этот мир так или иначе стимулирует исследование тех структур, которые имеют ценность за пределами чистой математики. К тому же некоторые из математических структур оказались удивительно хорошо приспособлены для формулировок физических законов и выведения из этих законов проверяемых следствий.

Выдающийся физик Е. Вигнер написал в своей знаменитой статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» математику следует рассматривать как «чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем». Может быть и так, а может проще считать, что любое естественнонаучное утверждение должно быть написано на каком-нибудь языке, а математика – это универсальный язык для непротиворечивого, однозначного и тождественного преобразования высказываний, а потому вообще самый надежный, самый корректный язык, который только может существовать. Этим языком может пользоваться кто угодно и для каких угодно задач. Ибо только на этом языке можно надежно сделать достаточно сложное и при этом заведомо непротиворечивое описание мира. Для самих же математиков – это единственно употребимый язык для описания действий с придуманными ими же самими объектами, которых в реальности заведомо не существует.

Логические рассуждения применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Они нужны и в обыденном познании для того, чтобы обосновывать себе и другим собственные неочевидные идеи, так как очевидные идеи обычно просто не требуется обосновывать. Основной вопрос, на который мы при этом отвечаем: правильно ли в процессе доказательства одни высказывания были преобразованы в другие высказывания? Если преобразования были сделаны правильно, то критиковать полученный в итоге вывод нелепо, даже если сам этот вывод кажется интуитивно неверным или бессмысленным.