double arrow
Правило Лопиталя

Если при вычислении предела функции возникает неопределенность вида или вида , и никакой из существующих приемов ее раскрытия не работает, на помощь придет правило Лопиталя. Под правилом Лопиталя понимают прием раскрытия неопределенностей вида или .

Теорема (правило Лопиталя). Для вычисления предела , где = , достаточно найти предел отношения производных данных функций (если он существует), т.е. = .

Замечание. 1. Правило Лопиталя справедливо также для случаев

· неопределенности вида при х→∞;

· неопределенности вида при ххо и х→∞.

2. Правило Лопиталя может быть применено последовательно несколько раз для раскрытия неопределенностей вида или .

Рассмотрим примеры нахождения пределов функций с использованием правила Лопиталя.

Пример 1. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере встречается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = =е0=1.

Ответ: =1.

Пример 2. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере рассматривается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = . Снова получили неопределенность вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя еще раз:

= = . Повторно применяя правило Лопиталя, получим

= = =0, т.к. ех→∞ при х→∞.

Ответ: =0.

Пример 3. Вычислите .

Решение. Поскольку при х→0 функция lnx→∞, то имеет место неопределенность вида (0∙∞) и правило Лопиталя применить нельзя. Попытаемся преобразовать выражение, стоящее под знаком предела: = . Тогда под знаком предела будет неопределенность вида , к которой правило Лопиталя применимо:




= = = = =- =- =0.

Ответ: =0.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 6, §6.3, стр. 127 – 130.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 37, стр. 218-220.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §5, стр. 239– 240.






Сейчас читают про: