Упорядоченные множества

Вводя операции надмножествами, мы не учитывали, что сами множества могут иметь свою внутреннюю структуру, т. е. мы считали, что все элементы множества равноправны. Однако в математике такие «чистые» множества представляют мало интереса, и гораздо чаще изучаются множества, между элементами которых существуют те или иные отношения. Одним из важнейших отношений между элементами множества является отношение порядка.

Отношение порядка есть не что иное, как правило, устанавливающее порядок «следования» элементов множества.

Пусть А — некоторое множество, Множество А называется упорядоченным множеством, если для любых его двух элементов а, b установлено одно из следующих отношений порядка:

либо а ≤ b (а не превосходит b),

либо b ≤ а (b не превосходит а),

обладающих следующими свойствами:

1)рефлексивность:

любой элемент не превосходит самого себя;

2) антисимметричность:

если а не превосходит b, а b не превосходит а, то элементы а и b совпадают;

3) транзитивность:

если а не превосходит b, a b не превосходит с, то а не превосходит с.

Пустое множество условились считать упорядоченным. В сформулированном выше определении упорядоченного множества, элементами которого могут быть объекты любой природы, знак ≤ читается «не превосходит». Привычное чтение и смысл этот знак (как знак «меньше или равно») приобретает в случае, когда элементы множества А — числа.

Два множества, составленные из одних и тех же элементов, но с разными отношениями порядка, считаются различными упорядоченными множествами.

Одно и то же множество можно упорядочить различными способами, получая тем самым различные упорядоченные множества.

Пример

Рассмотрим множество, элементами которого являются различные выпуклые многоугольники: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д. Один способ образования упорядоченного множества из данного неупорядоченного множества может, например, состоять в том, что в качестве первого элемента упорядоченного множества мы берем треугольник, в качестве второго — четырехугольник, третьего — пятиугольник и т. д., т. е. упорядочиваем множество в порядке возрастания числа внутренних углов многоугольников. Множество многоугольников может быть упорядочено и другим способом, например перечислением многоугольников в порядке возрастания площадей, когда в качестве первого выбирается многоугольник, имеющий наименьшую площадь, в качестве второго — многоугольник с площадью, не превышающей площадь всех остальных, кроме уже выбранного, и т. д.

Упорядоченные (конечные или счетные) множества часто записывают, располагая их элементы в заданном порядке в круглых скобках.

Пример

Записи (1; 2; 3) и (2; 1; 3) представляют различные конечные упорядоченные множества, которые можно получить из одного и того же множества {1; 2; 3}, упорядочивая его двумя различными способами.

Для записи счетного упорядоченного множества необходимо указать первый элемент упорядоченного множества и указать порядок (правило) расположения последующих элементов.