2015-05-30
687
1. Как можно попасть в точки потребления, лежащие слева от точки начального запаса на рис.12.1?
2. Какие из приведенных ниже функций полезности обладают свойством ожидаемой полезности? (a) 
, (b) 
, (c) 
.
3. Не расположенному к риску индивиду предлагается выбор между игрой, приносящей 1000 долл. с вероятностью 25% и 100 долл. с вероятностью 75%, и единовременной выплатой в 325 долл. Что он выберет?
4. Что, если бы единовременная выплата составила 320 долл.?
5. Нарисуйте функцию полезности, показывающую поведение, характеризующееся расположенностью к риску при играх с малыми ставками и нерасположенностью к риску при играх с крупными ставками.
6. Почему группе домовладельцев, проживающих по соседству. может оказаться труднее осуществить взаимное страхование против наводнения, нежели против пожара?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим простую задачу, чтобы продемонстрировать принципы максимизации ожидаемой полезности. Предположим, что потребитель владеет каким-то богатством w и подумывает о том, не вложить ли некоторую сумму x в рисковый актив. Владение этим активом может принести ему либо доход в размере 
при "хорошем" исходе, либо доход в размере 
при "плохом" исходе. Следует считать положительным доходом - стоимость актива растет, а отрицательным доходом - стоимость актива падает.
|
|
|
Следовательно, богатство потребителя при хорошем и плохом исходах составит
.
Предположим, что хороший исход имеет место с вероятностью 
, а плохой - с вероятностью 
. Тогда, если потребитель решит инвестировать x долларов, то ожидаемая полезность составит
.
Потребитель хочет выбрать такое значение x, при котором значение данного выражения было бы максимальным.
Продифференцировав данное выражение по x, мы найдем то, как изменяется полезность с изменением x:
 (12.3)
|
Вторая производная полезности по x есть
 (12.4)
|
Если потребитель не расположен к риску, его функция полезности будет вогнутой, а это предполагает, что 
для каждого уровня богатства. Таким образом, вторая производная функции ожидаемой полезности, несомненно, отрицательна. Ожидаемая полезность должна являться вогнутой функцией x.
Рассмотрим изменение ожидаемой полезности вложения первого доллара в рисковый актив. Это - не что иное, как уравнение (12.3), взятое для значения производной при x=0:
.
Выражение, стоящее в скобках, есть ожидаемый доход на актив. Если ожидаемый доход на актив отрицателен, то с вложением в актив первого доллара ожидаемая полезность должна уменьшиться. Но поскольку, вследствие вогнутости функции, вторая производная ожидаемой полезности отрицательна, полезность, по мере вложения дополнительных долларов, должна продолжать уменьшаться.
|
|
|
Таким образом, мы установили, что если ожидаемое значение игры отрицательно, человек, не расположенный к риску, будет иметь наивысшую ожидаемую полезность при 
: он не захочет участвовать в игре, которая может закончиться проигрышем.
С другой стороны, если ожидаемый доход на актив положителен, то при увеличении x от нуля ожидаемая полезность будет возрастать. Следовательно, такой человек всегда захочет инвестировать в рисковый актив чуть больше, независимо от степени его нерасположенности к риску.
Ожидаемая полезность как функция x изображена на рис.12.4. На рис.12.4A ожидаемый доход отрицателен и оптимальный выбор представлен точкой . На рис.12.4B ожидаемый доход на некотором интервале положителен и потребитель хочет инвестировать в рисковый актив какую-то положительную величину 
.
Рис.12.4 Сколько вкладывать в рисковый актив. На рис.A оптимальные инвестиции равны нулю, однако, на рис.B потребитель хочет инвестировать положительную величину.
Оптимальная для данного потребителя величина инвестиций определяется условием равенства нулю производной ожидаемой полезности по x. Поскольку, ввиду вогнутости функции, вторая производная полезности всегда отрицательна, этот максимум будет являться глобальным.
Приравняв к нулю выражение (12.3), мы получаем
 (12.5)
|
Это уравнение определяет условие оптимального выбора для рассматриваемого типа потребителя.
ПРИМЕР: Влияние налогообложения на инвестиции в рисковые активы
Что происходит с уровнем инвестиций в рисковый актив, когда приносимый им доход облагается налогом? Если инливид платит налог по ставке t, то доходы после уплаты налога составят 
и 
. Следовательно, условие первого порядка, определяющее его оптимальное вложение x, будет иметь вид
Сократив члены (1-t), получаем
 (12.6)
|
Обозначим решение задачи на нахождение максимума в отсутствие налогов - когда t=0 - через , а решение задачи на нахождение максимума при наличии налогов - через 
. Какова взаимосвязь между и ?
Первое, что, возможно, придет вам в голову, - это то, что 
- то есть, что налогообложение рискового актива будет препятствовать инвестициям в него. Но оказывается, это совершенно неверно! Обложение рискового актива налогом описанным нами способом, в действительности, будет как раз поощрять вложения в этот актив!
На самом деле, существует строгая взаимосвязь между и . Должно соблюдаться
.
Доказательство этого сводится к замечанию о том, что данное значение удовлетворяет условию первого порядка для оптимального выбора при наличии налога. Поставив это значение x в уравнение (12.6), мы получаем
,
где последнее равенство вытекает из того факта, что есть оптимальное решение при отсутствии налога.
Что же здесь происходит? Каким образом введение налога может увеличивать величину вложений в рисковый актив? А происходит вот что. При введении налога, выигрыш индивида при хорошем исходе уменьшится, но уменьшится и его проигрыш при плохом исходе. Увеличив в 1/(1 –t) раз исходные инвестиции, потребитель может воспроизвести те же самые доходы после уплаты налогов, которые он получал до того, как быд введен налог. Налог сокращает его ожидаемый доход, но также сокращает и его риск: увеличивая свои инвестиции, потребитель может получить в точности такую же структуру доходов, что и раньше, и,тем самым, полностью свести на нет влияние налога. Налог на рисковые инвестиции представляет собой налог на выигрыш в случае положительного дохода - но является субсидированием проигрыша в случае отрицательного дохода.
