Отношения между множествами. Подмножество

Даны два множества:

А = {a, b, c, d, e} и B = {b, d, k, e}. Видим, что элементы b и d принадлежат одновременно множеству А и множеству В. Говорят, что b и d – общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекаются.

Замечание. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Рассмотрим теперь множества А = {a, b, c, d, e} и В = {c, d, e}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включено в А или что множество В является подмножеством множества А.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Если В – подмножество множества А, то пишут: В Ì А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, т. е. Æ Ì А, и что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. А Ì А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.

Примеры

Выпишем все подмножества множества А = {2, 3, 4}.

Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}, а также само множество А: {2, 3, 4} и Æ. Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.

Обратимся теперь к множествам А = {a, b, c, d, e} и В = {c, a, b, e, d}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А Ì В, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В Ì А. В этом случае говорят, что множества А и В равны.

Определение. Множества А и В называются равными, если А Ì В и В Ì А.