Подмножество. Универсум

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В одновременно является элементом множества А. Это записывается так: В Ì А или А É В. В этом случае говорят, что множество В содержится в множестве А или множество А содержит множество В.

Пусть заданы множества А = {1, 3, 5, 7} и B = {3, 5}. Очевидно, что В есть подмножество А, т.е. В Ì А.

Множество N натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел, т. е. N Ì Z; интервал ]а, b[ является подмножеством отрезка [а, b]: ]а, b[ Ì [а, b].

Если в множестве В найдётся хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: В Ë А. Например, отрезок [а, b] не является под­множеством промежутка ]а, b], так как а Î [а, b], но а Ï ]а, b].

Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т. е. справедливо утвержде­ние А Ì А. Говорят, что А – самое широкое подмножество А.

Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Это вполне естественно, так как пустое мно­жество не содержит ни одного элемента и, следовательно, в нём нет элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству. Пустое множество является самым узким подмножеством любого множества.

Множество А и пустое множество Æ называются несобственными подмножествами множества А. Все другие подмножества множества А называются собственными подмножествами множества А.

Рассмотрим множество учеников некоторого класса; обозначим это множество X, и пусть Y — множество учеников того же класса, получивших за контрольную по истории оценку «отлично». Если все ученики класса получили за эту контрольную отличную оценку, то Х и Y равные множества: Х = Y. Если же ни один ученик класса не получил «отлично», то множество Y – пустое: Y = Æ. Но в любом случае множество Y является под­множеством множества X: Y Ì X.

Задача 1.

Пусть дано некоторое множество, состоящее из трёх элементов а, b и с.

Найти все его под­множества.

Решение.

Во-первых, это – пустое множество Æ.

Во-вторых, множества, содержащие по одному элементу: { а }, { b },{ с }.

В-третьих, множества, содержащие по два элемента: { а, b }, { b, с }, { а, с }.

И, наконец, само множество { а, b, с }.

Число всех этих подмножеств равно восьми. Таким образом, любое множество, состоящее из трёх элементов, имеет 8 = 2³ подмножеств.·

Если конечное множество А состоит из п элементов, то число всех его подмножеств равно 2 ⁿ. Из них ровно (2 ⁿ – 2) являются собственными подмножествами.

Элементами множества могут выступать также и другие множества. В этом случае говорят не о множестве множеств, о а системе множеств.

Например, взвод – это множество, состоящее из определённого числа солдат, рота – это множество, состоящее из нескольких взводов. Таким образом, рота – это множество, элементами которого являются множества (взводы).

Частным случаем системы множеств является система всех подмножеств данного множества А. Так, система подмножеств множества А из задачи 1 имеет вид:

Р(А) = {Æ, { а }, { b }, { с }, { а, b }, { b, с }, { а, с }, { а, b, с }}.

Когда мы говорим о системе множеств, следует чётко различать понятия «элемент множества» и «множество».

Рассмотрим следующий пример. Студент Иванов не может быть подмножеством множества студентов университета, поскольку он сам не множество, а элемент. Поэтому он, как элемент, может быть лишь элементом множества студентов университета. Студенческая же группа, как множество студентов, является подмножеством множества студентов университета. Предположим теперь, что некоторая группа состоит из одного студента, того самого Иванова. Получается, что сам студент Иванов не может быть подмножеством, но группа, состоящая из него одного, может.

Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют базовым множеством, или основным множеством, или универсальным множеством, или универсумом. Примерами универсума являются: числа в арифметике, слова в языкознании, законы в юриспруденции и т.п.