Операции. Пусть задан некоторый универсум Ô и его подмножества А, В, С, Í Ô

Пусть задан некоторый универсум Ô и его подмножества А, В, С, …Í Ô. Правило, сопоставляющее двум данным множествам А и В множество С, также принадлежащее универсуму Ô, называется операцией над множествами. При этом множество С называют результатом операции, а множества А и В – аргументами. В общем случае аргументов может быть несколько и их число называют местностью или арностью операции. Соответственно, операцию называются унарными, бинарными, и т.д.

Введём основные операции над множествами.

• Объединением множеств АÇВ состоит из элементов, которые входят в состав хотя бы одного из этих множеств:

АÇВ = {a|aÎAÚaÎB}.

• Пересечением множеств А∩В называется множество, в состав которого входят те и только те элементы, которые входят в состав как множества А, так и множества В:

А ∩ В = {a|aÎA&aÎB}.

• Разность А\В состоит из элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В:

А\В = {a|aÎA&aÏB}.

• Симметрическая разность АóВ состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств А и В:

АóВ = {a| (aÎA&aÏB) Ú(aÏA&aÎB) }.

• Разность Ô\A называется дополнением А и обозначается Ā
• Множество всех подмножеств множества А называют булеаном или множеством степенью множества А и обозначают P( А ), B( А ) или 2^А. Существование такого множества (булеана) – одна из аксиом теории множеств.

• Множество А={a,b,c} является собственным подмножеством множества B={a,b,c,d,e}
• Множество студентов группы является подмножеством множества всех студентов университета.
• Множество четных чисел является подмножеством множества натуральных чисел.
• Цепочка: натуральные, целые, рациональные Í…
• A={1,2,3}, B={1,3,4,6}; AÇB={1,2,3,4,6}; A∩B={1,3}; A\B={2}; B\A={4,6}; АóВ={2,4,6}.
• Ч∩Í= Í; Ч∩Н = ¯; Н∩Í=Н, ЧÇH=Í
• А – множество прямых, проходящих через точку а, В – множество прямых, проходящих через точку b; тогда А∩В ={l(a,b)} – прямая, проходящая через точки а, b.
• A={а} 2^A={¯, {a}}; A={а, b} – 2^A={¯, {а}, {b}, {а, b}} – отметим, что пустое множество не заключают в фигурные скобки.

Покрытия и разбиения

Если множество А представляет собой объединение подмножеств А₁, А₂, …, то совокупность множеств { А₁, А₂, …} называется покрытием множества А.

Если при этом ещё А_i∩А_j = ¯, то совокупность { А₁, А₂, …} называется разбиением множества А, а подмножества А – классами этого разбиения.