Агрегация локальных выводов и дефазификация

Операция агрегации (aggregation) подразумевает объединение локальных выводов В_i, полученных по каждому правилу R_i, в один общий вывод В, который характеризует в целом базу правил {R_i}^k_i=1, или в символической форме:

R_i: если …., тогда , где нечеткое множество В_i известно ®^?нечеткое множество В для {R_i}^k_i=1. Здесь символ ®^?обозначает “необходимо найти”.

Для решения этой задачи возможны несколько подходов.

Первый из них, обычно применяемый в традиционных экспертных системах, состоит сначала в получении выводов В_i по каждому правилу и далее в комбинировании этих выводов по определенным алгоритмам в общий вывод В.

Второй подход состоит сначала в комбинировании всех правил R_iи затем в получении вывода по этой комбинации, который принимается за общий вывод В для базы правил.

Возможен другой подход, когда сначала из общей базы правил выделяются индивидуальные базы правил и для каждой из них формируется вывод с использованием первого или второго подходов. Совокупность таких выводов образует базу выводов. Затем формируется общий вывод, как композиция базы выводов.

В теории нечетких множеств доказывается, что при реализации в базе правил нечетких «и», «или» и нечеткой импликации в виде логических произведений и суммы по Заде T(u₁,u₂)= u₁Ùu₂, S(u₁,u₂)= u₁Úu₂, два подхода в получении общего вывода В дают эквивалентные результаты и поэтому справедливо соотношение:

где U - объединение локальных выводов в виде нечетких множеств В_i.

Этот результат показывает, что при компьютерной реализации получения общего вывода по базе правил возможно использование параллельных вычислений, когда по каждому правилу параллельно вычисляется В_i и далее полученные результаты объединяются. Так как при вычислении В_iи В используются логические операции, которые являются более быстрыми по сравнению с вычислительными операциями, поэтому в сочетании с параллельностью очевидно возможно достижение существенного быстродействия при реализации нечетких систем управления на нечетких компьютерах (контроллерах).

Для нечеткого контроллера, который обрабатывает нечеткую информацию принята следующая единица быстродействия -– FLIPS (число нечетких локальных выводов/сек). Например, японский нечеткий контроллер образца 80-х годов, который управлял скоростью разгона и торможения электролокомотива метрополитена, имел следующие характеристики:

Быстродействие –10 FLIPS;

База правил 24;

Длина разрядной сетки процессора 8 бит.

В настоящее время в Японии созданы нечеткие контроллеры с быстродействием 40×10⁶FLIPS.

Продемонстрируем процедуру получения общего вывода В по локальным выводам В₁, В₂, В₃с помощью графических построений (рис.3.9). Для простоты рассмотрим базу правил {R_i}³_i=1, которая содержит три правила:

R₁: если х=А₁ и y=A₂, тогда z=A₃;

или

{R_i}³_i=1R₂: если х=А₄ и y=A₂, тогда z=A₄;

или

R₃: если х=А₃ и y=A₂, тогда z=A₁,

где А_i (i=1,4) – нечеткие множества, заданные своими функциями принадлежностей. Нечеткие логические операции «и», «или» задаются в виде логических «и», «или» по Заде, тогда функции принадлежностей локальных выводов В_i будут равны:

Функция принадлежности общего вывода В равна:

Заключительной операцией в нечетком управлении является процедура преобразования нечеткого общего вывода В в физическую переменную. Эта процедура называется дефазификация (defuzzification) и обозначается dfz. Для ее выполнения существует достаточно много разнообразных методов. Рассмотрим кратко некоторые из них.

Интуитивно очевидно, что преобразование общего вывода В, который характеризуется функцией принадлежности m_В(z), в общем случае, с достаточно сложной формой (рис.3.9), в физическую переменную может быть сделано с помощью техники усреднения. Метод центра тяжести (center of gravity –cog) является ничем иным, как тем самым методом, который использует усреднение (рис.3.10):

непрерывный случай;

дискретный случай,

где N является числом разбиений, используемых для дискретизации функции принадлежности m_В(z). Метод cog имеет место также для n-го случая, когда m_В(z₁,…,z_n). В этом случае численное значение j-той координаты равно:

где z – произведение пространств.

Наиболее известным методом дефазификации является метод центра области (center of area –coa) или метод медианы, когда значение z разбивает площадь фигуры под функцией принадлежности m_В(z) нечеткого множества В на две равные части (рис.3.11):

Этот метод может быть обобщен на многомерный случай нечеткого множества В, для двумерного случая имеем:

Рис.3.10. Дефазификация методом cog.

Рис.3.11. Дефазификация методом coa (площадь

= площадь

Рис.3.12. Дефазификация методом mom.

Для решения задач нечеткого управления также часто используется метод среднего максимума (mean of maxima-mom), который определяется следующим образом (рис.3.12):

Z_mom(B) =cog{В∩С}, где C=a- cutB/_a₌_hgtB – сечение множества В при a=hgtB.

Очевидно, что этот метод дефазификации игнорирует большую часть той информации, которую дает нечеткое множество В (за счет применения a- разреза) с уровнем разреза, равным высоте множества В. Этот метод применяется в случае, когда процедура дефазификации должна иметь фильтрующие свойства. Иногда такой метод называется индексным или методом пороговой дефазификации (indexed defuzzification – idfz) и, в сочетании с методом «cog», обозначается icog:

Z_mom(B) =cog{В∩С}= icog{В, hgtB}.

Возможно также сочетание с методом “соа”, тогда

Z_mom(B) =icoа{В, hgtB}.

Большой класс методов с фильтрующими свойствами составляют индексные методы, в которых a=b_t(b_t- заданные априори значения), и, в сочетании с методами “сog” и “coа”, равны (рис.3.13):

Z _idfz(В, b_t)= cog{В∩С_b_t}, С_b_t=a- cutB/_a₌_b_t;

Z _idfz(В, b_t)= coа{В∩С_b_t}.

В практических задачах обычно b_t= 0,5. Численные результаты сравнения методов дефазификации приведены в табл.3.1.

Табл.3.1. Сравнение методов дефазификации

Метод dfz В idfz(В, b_t= 0,5)

Непр. Сog 4⁴/₉4⁴/₂₉

Дискр. Сog 4⁴/₉4

СОА 4¹/₂4¹/₁₆

МОМ 3¹/₂ 3¹/₂

Классификация методов дефазификации приведена на рис.3.14.

Рис.3.13. Дефазификация индексными методами с уровнем разреза