Формула 3

u₁^* u^*₂

u₁^*®u^*₂ Из утверждения: “если птица, то летает”,

u₂^*(-) делается вывод:

u₂^{* (-)} u₁^*(-)

вывод: u₁^*(-) “если это животное не летает, то это животное не

птица”.

Аналогичные формулы существуют для нечеткой импликации, и с их помощью могут быть получены новые выводы из исходной информации. Для этого необходимо произвести замену u_i^* на u_i и y^* на у.

По аналогии с нечеткими «и», «или», «не» число которых не ограничено в нечеткой логике и зависит от способов их задания, число нечетких импликаций также не ограничено.

В нечеткой логике рассматриваются следующие типы нечетких импликаций по классификации Дубоиса и Праде [7].

1. Нечеткие импликации S-типа, которые являются аналогом четкой импликации (3.2):

у=I(u₁,u₂)= S(u₁^(-),u₂),

где S-норма. Пример импликации этого типа приведен ниже в сопоставлении с четкой импликацией:

четкая импликация нечеткая импликация (Клине, 1938)

y^*=I^*(u₁^*, u₂^*)= u₁^*(-)Ú u₂^* y=I(u₁, u₂)= u₁^(-)Ú u₂=(1- u₁) Ú u₂.

Геометрическая интерпретация граничных условий нечеткой импликации представлена на рис.3.2.

	Рис.3.2. Граничные условия нечеткой импликации S-типа.
		Рис.3.7. Управление уровнем воды в резервуаре.

	Рис.3.7. Управление уровнем воды в резервуаре.

2. Нечеткие импликации QL типа { QL – Quantum logic)

y=I(u₁,u₂)=S(u₁^(-), T(u₁,u₂)), где S, T – нормы.

Пример импликации QL типа по Рейшенбаху:

y=I(u₁, u₂)= S(u₁^(-),T(u₁,u₂))= u₁^(-)+u₁×u₂=1- u₁+ u₁× u₂.

Модификаций QL типа является импликация «расширение исчисления высказываний по Ли»:

y=I(u₁, u₂)= S(T(u₁^(-)),u₂^(-),u₂).

Другой пример импликации QL типа:

1- u₁, если u₂=0

y=I(u₁, u₂)= í u₂, если u₁=1

1, для других.

3. Нечеткие импликации, отражающие частичный порядок в предложениях (нечеткие импликации R типа):

1, если u₁£u₂

y=I(u₁, u₂)= í 0, если u₁=1Ù u₂=0

Î[0,1), для других.

Здесь R аббревиатура residnated – разность, остаток.

К этому типу относится также импликация:

I(u₁, u₂)=sup{gÎ[0,1]/T(u₁, g)£ u₂}. (3.5)

Иногда этот тип упоминается, как «обобщенный modus ponens” и так же включается в перечень “обобщенного modus tollens” или обобщенного способа замещения. Часто используется другая форма (3.5) в виде:

I(u₁, u₂)=1-inf{gÎ[0,1]/S(u₂, g)³ u₁},

которая следует из предыдущей в результате замены u₁ и u₂ на 1-u₂ и 1- u₁ соответственно.

Примером импликации R типа является импликация по Гогаену (1969):

1, если u₁=0

y=I(u₁, u₂)= í

min (u₂/ u₁;1), для других.

4. Нечеткие импликации Т-типа, которые базируются на Т норме:

y=I(u₁, u₁)= Т(u₁, u₁). (3.6).

Примером импликации Т-типа является импликация по Мамдани (1974): y=I(u₁, u₁)= u₁Ùu₂ =min(u₁, u₁),

и по Ларсену (1980): y=I(u₁, u₁)= u₁×u₂, где “×” – алгебраическое произведение.

5. Нечеткие импликации, отражающие частичный порядок и основанные на классическом пересечении множеств:

0, если u₁+ u₂£1

y=I(u₁, u₁)= í 1, если u₁=1Ù u₂=1

Î(0,1], для других.

Подклассом этой импликации является также нечеткая импликация:

I(u₁, u₂)=inf{gÎ[0,1]/S(1-u₁, g)³ u₂}.

6. К этому типу нечетких импликаций относятся импликации, которые не вписываются в классы приведенные выше, например, нечеткая импликация по Ягеру (1980):

7. y=I(u₁, u₂)= u₂^u1.

В [7] приведен перечень нечетких импликаций различных типов по Геделю, Ви, Виллмоту и т.д.

По аналогии с импликацией S-типа можно также дать геометрическую интерпретацию приведенных выше нечетких импликаций, оценить максимальные и минимальные значения и установить по ним взаимоотношения порядка. Приведенная выще классификация нечетких импликаций базируется на различии Т и S типов импликаций. Можно дать другую более общую классификацию импликаций [7].