Композиция нечетких отношений

Выше были рассмотрены операции с нечеткими множествами, для которых принадлежность определялась функцией одной переменной. Можно обобщить определения высоты, основания, определения и свойства операций a-сечения, Т и S норм, отрицания для нечетких отношений (fuzzy relations –R) или многомерных нечетких множеств с функцией принадлежности m_R(x₁,…, x_n).

В теории нечетких множеств также рассматривается операция композиции нечетких отношений, которая в символической форме для двумерного нечеткого отношения определяется в виде:

В=А°R, (3.7)

где R- заданное двумерное нечеткое отношение в А₁´ А₂ с функцией принадлежности m_R(х₁,х₂), А заданное одномерное нечеткое множество в А₁ с функцией принадлежности m_А(х₁);

В – нечеткое множество в А₂ с функцией принадлежности, подлежащей определению; ° - символ композиции.

Для согласования размерностей пространств при выполнении этой операции используются две вспомогательные операции проектирование (proj) и цилиндрическое расширение (cext).

В двумерном случае операция проектирования нечеткого отношения с R, которое является подмножеством А=А₁´ А₂ (RÌА)

на одномерное нечеткое множество А₂ определяется в виде:

Пример техники проектирования показан на рис.3.3.

В двумерном случае операция цилиндрического расширения определяется по Заде в виде:

Пример техники цилиндрического расширения показан на рис.4.4.

С учетом операций проектирования и цилиндрического расширения операция композиции по (3.7), в результате которой получается нечеткое множество В, определяется в виде

B=proj(R∩cext(A;A₁´A₂); A₂),

где операция Ç задается в виде Т-нормы. Таким образом для получения В выполняются три операции: proj, cext, ∩.

В настоящее время в качестве Т-нормы в операции композиции широко используется логическое произведение (2.6) по Заде. В результате этого функция принадлежности m_В(х₂) нечеткого множества В, определяемого по (3.7) будет равна:

(3.8)

Для примера используем лингвистическую переменную «»5» с одномерной функцией принадлежности треугольного типа:

и лингвистическую переменную «приблизительно равное» в виде нечеткого отношения «»» с двумерной функцией принадлежности пирамидального типа:

Найдем лингвистическую переменную «приблизительно 5 приблизительно равное х₂», где х₂ – заданное значение. Это соответствует нахождению результирующего нечеткого множества В с функцией принадлежности m_В(х₂) по заданным m_»5(х₁), m_»(х_1, х₂).

По (3.8) имеем

(3.9)

Различные стадии получения В показаны на рис.3.5.

Если композиционное правило для получения нечеткого вывода или заключение применяется на дискретных областях с х₁, х₂:0,1,2,… в промежутке [0;10], тогда получим следующие результаты:

° =

= = .

Рис.3.5. Композиция нечеткого отношения -(а), цилиндрическое расширение -(б), пересечение отношения и цилиндрического расширения -(в) и проекция -(г).

	Рис.3.6. Операция композиции на непрерывной и дискретной областях.

Этот результат показан на рис.3.6. Из него становится ясным, что полученный результат не обусловлен эффектом дискретизации областей по сравнению с тем, когда используется операция композиции на непрерывных областях. Поэтому необходимо быть внимательным, когда используется дискретизация нечетких множеств и отношений при компьютерной реализации нечеткой системы.

Аналогично предыдущему примеру можно получить локальный вывод при управлении уровнем воды в резервуаре (рис.3.7).

Имеем лингвистические правила управления уровнем воды:

R₁: если уровень воды в резервуаре низкий (нечеткое множество А₁), тогда вентиль поступления воды в резервуар открыт (нечеткое множество А₂);

R₂: если уровень воды в резервуаре не очень высокий (нечеткое множество А), тогда вентиль поступления воды в резервуар слегка открыт (нечеткое множество В).

Задача состоит в получении нечеткого множества В или нечеткого локального вывода из двух правил при заданных нечетких множествах А, А₁, А₂.

В соответствии с нечеткой композицией и нечеткой импликацией имеем:

B=A°R= A°(A₁®A₂)

здесь ° нечеткая композиция; ® – нечеткая импликация; R- нечеткое отношение. Выберем импликацию I в виде нечеткой импликации Т-типа (3.6), тогда для R=А₁®А₂ получим:

I(u₁, u₂₎=T(u₁, u₂₎= u₁(T) u₂= u₁Ù u₂=min(m_A1(x), m_A2(x))=m_R(x_1,x₂).

Операцию композиции ° выбираем по Заде (3.8), тогда для нечеткого множества B=A°R получим:

Стадии получения m_В(x) показаны на рис.3.8. Дальнейшая задача в системах управления состоит в преобразовании нечеткого множества В в физическую переменную. Различные методы этого преобразования будут рассмотрены далее.

Рис.3.9. Процедура получения общего вывода по локальным выводам , , .