Примеры. 1. Бинарное отношение отцовства на множестве всех людей есть множество всех упорядоченных пар таких

1. Бинарное отношение отцовства на множестве всех людей есть множество всех упорядоченных пар таких, что a и b – люди и a – отец b.

2. Пусть и , тогда подмножество в декартовом произведении является бинарным отношением между множествами А и В.

3. На множестве целых чисел Z отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар , в которых m делится на n, является бинарным отношением. В этом случае обозначение mRn заменяется на m: n.

4. На множестве действительных чисел R упорядочение «» – «меньше или равно» или «не больше» является бинарным отношением на R, состоящим из всех точек плоскости R ², лежащих не ниже прямой x – y = 0 (см.рис.).

5. Для функции ее график Г(f) = является бинарным отношением между X и Y.

6. На множестве всех неотрицательных целых чисел Z⁺ = N {0} упорядочение «<» – «меньше» является бинарным отношением R, область определения которого – Z⁺, множество значений – Z⁺\ {0}, обратным отношением к нему является отношение «>» – «больше».

Свойства бинарного отношения на множестве.

Определение 57. Бинарное отношение R на множестве А обладает свойством рефлексивности или называется рефлексивным, если для всех , то есть для любого а этого множества элемент а находится в отношении R к самому себе.

Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.

Определение 58. Бинарное отношение R на множестве А обладает свойством антирефлексивности или называется антирефлексивным, если для всех .

Примеры нерефлексивных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».

Определение 59. Бинарное отношение R на множестве А обладает свойством симметричности или называется симметричным, если влечет за собой для всех .

Примером симметричных отношений могут быть: равенство «=», отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).

Определение 60. Бинарное отношение R на множестве А обладает свойством антисимметричности или называется антисимметричным, если и влекут за собой для всех , то есть R и R ^-1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов.

Определение 61. Бинарное отношение R на множестве А обладает свойством асимметричности или называется асимметричным, если , влечет за собой для всех .

Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<). Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности.

Определение 62. Бинарное отношение R на множестве А обладает свойством транзитивности или называется транзитивным, если и влечет за собой для всех .

В противном случае отношение называется нетранзитивным.

Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее». Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»

Определение 63. Бинарное отношение R на множестве А обладает свойством связанности или называется связанным, если или для всех , то есть, что для любых двух различных элементов a и b из множества A, одно из них находится в отношении R к другому.