Функция. Композиция функций

Определение 67. Бинарное отношение R, определенное на некотором множестве, называется функцией f, есликаждому значению x отношения xfy соответствует лишь одно значение.

То есть если из и следует, что . Поскольку каждому значению x в выражениях xfy и xfz соответствует одно и то же значение, то y и z совпадут, окажутся одними и теми же.

Функциональное отношение однозначно, поскольку каждому значению x отношения xfy соответствует лишь одно-единственное значение y такое, что , но не наоборот. .

Определение 68. Бинарное отношение f, определенное на некотором множестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у, и каждому значению у соответствует единственное значение х называется биекцией (одно-однозначное отношение).

Определение 69. Функция f, для которой из равенства f (x) = f (y) следует, что x = y, называется взаимнооднозначной функцией.

Если f – взаимнооднозначная функция, то обратное отношение тоже является функцией.

Например, – взаимнооднозначная функция, – не является взаимнооднозначной.

Определение 70. f отображает множество X на множество Y, если f – функция с областью определения Х и множеством значений Y.

Определение 71. Всюду определенной функцией от n аргументов f (x ₁, x ₂,…, x_n) на множестве Х называется всякая функция, у которой область определения совпадает с Xⁿ. Частичной функцией от n аргументов на множестве Х называется всякая функция, областью определения которой служит какое-нибудь подмножество Xⁿ.

Например, обычное деление – частичная функция от двух аргументов на множестве целых чисел (т.к. на нуль делить нельзя).

Определение 72. Бинарной или двуместной операцией на множестве Х называется отображение f такое что , которое каждой упорядоченной паре элементов (x, y), называемых операндами, принадлежащей прямому произведению , ставит в соответствие некоторый элемент того же множества, называемый результатом. Бинарная операция – операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат.