2015-05-24
2746
Тем не менее, вот нашли вы первообразную 
и возникли сомнения, а правильно ли она найдена? Всегда можно выполнить проверку, в данном случае следует найти частную производную по «игрек»:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, всё в порядке.
Момент второй, подстановка пределов интегрирования. По стандартной формуле Ньютона-Лейбница сначала вместо «игреков» мы подставили 
, а затем – нижний предел интегрирования (нули). После подстановки должны остаться только «иксы».
И, наконец, может показаться странным результат: 
Ведь можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые! В данном случае это сделать несложно, и чайникам, вероятно, лучше так и поступить. Но если будет не вторая, а 3-я или 4-ая степень? На самом деле линейную функцию в степени выгоднее проинтегрировать, не раскрывая скобок! Данный прием я уже применял и подробно комментировал во втором параграфе урока Как вычислить объем тела вращения?
Ещё раз посмотрим, как он работает:
2) Берём оставшийся внешний интеграл:
|
|
|
При нахождении интеграла 
использован метод подведения функции под знак дифференциала. Где-нибудь возникли сомнения в правильности интегрирования? Возьмите производную по «икс» и выполните проверку!
Ответ: 
Пример 6
Вычислить двойной интеграл
, 
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения, как и в разобранном примере, использован первый способ обхода области.
На практике немало примеров, где трудно (а то и невозможно) обойтись без микрокалькулятора-«дробовика». Рассмотрим практический пример на данную тему:
Пример 7
Вычислить двойной интеграл по области 
Задача будет решена двумя способами, так как готовое решение у меня уже есть =) А если серьезно, второй способ будет нужен для дополнительных важных комментариев.
Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Область интегрирования тут простая, и основной гемор ожидается как раз в вычислениях.
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом:
1) 
Начинающим чайникам всегда рекомендую выполнять проверку, особенно в подобных примерах: возьмите частную производную по «игрек» от первообразной 
и получите подынтегральную функцию 
.
Будьте предельно внимательны в подстановке пределов интегрирования: сначала вместо «игреков» подставляем 
, затем – ноль. В оформлении вполне допустимо записать один, а не несколько нолей, как это сделано в данном примере. После подстановки должны остаться только «иксы».
2) Второй шаг прост:
Перейдём к обратной функции 
и изменим порядок обхода области:
Таким образом:
1) Вычислим внутренний интеграл:
Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Не лишней будет и промежуточная проверка, возьмём частную производную по «икс» от найденной первообразной:
Получена подынтегральная функция, что и хотелось увидеть.
|
|
|
Подстановка пределов интегрирования здесь сложнее: сначала вместо «иксов» подставляем 1, затем вместо «иксов» подставляем 
. После подстановки должны остаться только «игреки».
Степени рекомендую оставить в виде 
, а не преобразовывать их в корни – будет удобнее интегрировать на втором шаге:
2)
Результаты совпали, как оно и должно быть.
Легко заметить, что первый способ решения был заметно проще.
Всегда перед решением анализируйте – какой путь легче и короче.
Дроби в рассмотренном примере еще худо-бедно можно привести к общему знаменателю вручную. Но не удивляйтесь, если на практике получится ответ вроде 
, по крайне мере, в своей коллекции я нашел немало диких примеров, где без микрокалькулятора-«дробовика» фактически не обойтись.
Ответ: 
Ответ получился отрицательным. Геометрически это обозначает, что график подынтегральной функции 
(поверхность в пространстве) полностью или бОльшей частью (не проверял) располагается ниже области интегрирования 
под плоскостью 
.
Пример 8
Вычислить двойной интеграл по области 
Это пример для самостоятельного решения. Ответ будет целым – чтобы от своего хорошего настроения не запугать вас окончательно =). Похожие двойные интегралы встречаются в известном задачнике Кузнецова, и по этой причине пример тоже уместен. Полное решение и ответ в конце урока.
Студенты-заочники почти всегда сталкиваются с двойными интегралами наподобие тех, которые уже рассмотрены, но никто не застрахован от творческих примеров, где в подынтегральной функции есть какие-нибудь синусы, косинусы, экспоненты и т.п.
Рассмотрим заключительные примеры на данную тему:
Пример 9
Вычислить двойной интеграл по области 
Решение: В ходе выполнения чертежа может возникнуть трудность с построением прямой 
, которая параллельна оси 
. Ничего сложного: если 
, то 
– примерно на этом уровне и следует провести прямую.
Выполним чертёж:
После выполнения чертежа нужно выяснить, какой порядок обхода области выгоднее применить.
Рассмотрим первый способ обхода:
Тогда: 
Очевидно, что первый способ является крайне неудачным, поскольку внутренний интеграл 
придётся дважды брать по частям.
Но есть еще и второй способ обхода области:
Следовательно: 
Выглядит гораздо привлекательнее, начинаем вычисления:
1) По формуле Ньютона-Лейбница разберемся с внутренним интегралом:
Когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Если возникают трудности с интегрированием, можно прибегнуть даже к такому способу: временно замените «игрек» конкретным числом, например, «пятёркой»:
.
Теперь замените «пятёрку» обратно – «игреком»: 
И, конечно же, лучше сделать проверку, продифференцировав первообразную по «икс»:
Далее при подстановке пределов интегрирования сначала вместо «икса» подставляем 
, затем – ноль. После подстановки должны остаться только «игреки».
2) Полученный результат 
перемещаем во внешний интеграл, не забывая, что там уже есть 
и константа 4:
Второй интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.
Ответ: 
Таким образом, выбор порядка обхода иногда зависит не только от самой области интегрирования, но и от подынтегральной функции.
Пример 10
Вычислить двойной интеграл по области 
Это пример для самостоятельного решения.
Хочется привести ещё примеры, но в первом раунде я обещал не маньячить, поэтому скрепя сердце, заканчиваю статью. Множество других примеров на вычисление двойных интегралов можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике. Если тема проработана качественно, то рискну предположить, что многие читатели самостоятельно смогут разобраться и в тройных интегралах – принципы решения очень похожи!
|
|
|
Раскрою секрет хорошего настроения – в аккурат перед вторым раундом на ринг вышла симпатичная девушка с табличкой 222. С вашего позволения, заключительное мудрое пожелание:
Хорошо должно быть каждый день!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Изобразим область на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода:
Таким образом:
1) 
2) 
Перейдём к обратным функциям:
Изменим порядок обхода области:
Таким образом:
1) 
2) 
Ответ: 
Пример 4: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже.
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом:
1) 
;
2) 
Ответ: 
Пример 6: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом:
1) 
2)
Ответ: 
Пример 8: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом:
1) 
2) 
Ответ: 
Пример 10: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом:
1) 
2)
Ответ: 
