B) Объём тела вращения

Рассмотрим кривую функция непрерывна при и . Если ограниченную этой кривой криволинейную трапецию вращать вокруг оси , получим тело вращения. В каждом его сечении плоскостью, перпендикулярной оси вращения, получаем круг радиуса , площадь которого . Значит, по формуле (1) объём тела вращения равен

(2)

Пример 4. Вычислить объём кругового конуса c радиусом основания и высотой .

Совместим ось с осью конуса, считая вершину конуса начальной точкой, тогда . Проведём через ось секущую плоскость и запишем уравнение прямой – образующей конуса, которая проходит через точки и :

.

По формуле (2) получаем знакомый результат:

.

Пример 5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной дугами парабол и .

Параболы пересекаются в точках и , значит, . Обозначим , , . В соответствии с формулой (2) находим

.

Пример 6. Найти объём общей части параболоида вращения и сферы .

Каждое из этих тел есть тело вращения вокруг оси . Решая систему

получаем, что пересечение данных поверхностей происходит по плоскости . При (от вершины параболоида до его встречи со сферой) круги, лежащие в перпендикулярных оси сечениях тела, имеют квадраты радиусов . При (от встречи параболоида со сферой до высшей точки сферы) квадрат радиуса равен .

Поэтому

Если криволинейную трапецию, ограниченную кривой (функция однозначна при , ), вращать вокруг оси , получим тело вращения, объём которого определяется по формуле

(3)

Заметим, что при вычислении объёма тело «набирается» из элементарных цилиндров с радиусом и толщиной , нанизанных на ось вращения . Тогда элементарный объём равен и выражение есть интегральная сумма для непрерывной функции . А при вычислении объёма тело «набирается» из концентрических тонкостенных цилиндров с радиусом , высотой и толщиной . Объём такого цилиндра можно приближенно считать равным объёму прямоугольного параллелепипеда с размерами , т.е. элементарный объём , тогда выражение – интегральная сумма для непрерывной функции .

Пример 7. Вычислить объём тела, полученного при вращении синусоиды , а) вокруг оси , б) вокруг оси .

а) По формуле (2) находим:

.

б) По формуле (3) находим:

.

Пример 8. Вычислить объём тела, полученного при вращении окружности а) вокруг оси , б) вокруг оси .

а) Задано уравнение окружности радиуса со смещенным в точку центром, т.е. . При вращении окружности вокруг оси получаем шар, объём которого находим по формуле (2):

б) Первый способ. При вращении смещенной окружности вокруг оси получаем тор. Полагая в формуле (3) , , где – однозначная функция (вращаем верхнюю половину окружности), найдем объем половины тора:

.

В силу симметрии

Второй способ. Рассмотрим положительные функции и (правая и левая половина окружности), здесь . Если в формуле (2) поменять местами переменные и , то