Биномиальное распределение – схема Бернулли

Пусть

- некоторые параметры (параметры распределения)

Воспользовавшись определением pk и биномом Ньютона, нетрудно проверить, что

Распределение на конечном пространстве называется биномиальное распределение, если

Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой схема Бернулли.

Рассмотрим последовательность из n независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие A (“успех”). Пусть нам известна вероятность p, того что событие А произойдет в одном опыте. Поставим задачу найти вероятность того, что в n опытах событие A произойдет ровно k раз.

Построим вероятностную модель этого эксперимента.

Если обозначить 1 наступление события A, то моделью одного опыта будет следующее вероятностное пространство:

p₁(1)=p, p₁(0)=1-p

Элементарный исход, описывающий эксперимент целиком, естествено определить как n-мерный двоичный вектор

Проверьте, что таким образом заданная функция является распределением и что события независимы в совокупности

Определим вероятность элементарного исхода так, чтобы исходы отдельных опытов были независимы в совокупности. где - количество появлений события A

Теперь мы в состоянии подсчитать вероятность того, что в n опытах событие A произойдет ровно k раз. Обозначим это событие

Тогда

Говорят, что данная формула дает вероятность получить k успехов в n опытах. Отметим, что в крайних случаях, когда p=1 или p=0, неопределенность отсутствует – всегда либо все, либо ноль опытов заканчиваются успехами.