Отображения вероятностных пространств

Дадим формальное определение отображения вероятностного пространства в измеримое пространство

Пусть

основное вероятностное пространство

измеримое пространство

поточечное отображение (функция), ставящее в соответствие каждому элементарному исходу основного пространства точку x пространства X.

Отображение

называется измеримое отображение, если

множество (прообраз B)

Покажите, что так определенная функция будет вероятностью

Измеримость отображения гарантирует, что функция

определенная на сигма-алгебре

по формуле

будет вероятностью.

Эта функция называется распределение, индуцированное отображением

или просто распределение

Таким образом с каждым отображением

связано новое вероятностное пространство

.

Докажите это!

Заметим также, что совокупность прообразов всех множеств из Bобразует сигма-алгебру, которая обозначается и называется сигма-алгебра, порожденная отображением

Мы часто будем пользоваться отображениями пространств, так как каждое такое отображение указывает связь между различными математическими моделями.