Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече

Рассмотрим следующую задачу.

Два человека договорились встретиться в определенном месте в течение часа и ждать друг друга не более 10 минут. Найти вероятность, того они встретятся, если момент прихода каждого совершенно случаен.

Для решения задачи построим следующую вероятностную модель. Исходом опыта является вектор

где первая координата – момент прихода первого человека, вторая – момент прихода второго. Сигма-алгебра – все борелевские подмножества единичного (1 час=1 единица времени) квадрата. Предположение о совершенной случайности моментов прихода приводит к вероятностной мере, которая приписывает каждому множеству единичного квадрата его площадь. Эта мера называется мера Лебега на квадрате. Подсчитаем вероятность интересующего нас события. Два человека встретятся, если