Следующая теорема дает пример применения предыдущей теоремы для доказательства сходимости относительной частоты события к его вероятности в схеме Бернулли.
Закон больших чисел в форме Бернулли
Пусть - число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда
Доказательство.
Доказательство завершено.
Таким образом, для доказательства слабой сходимости достаточно доказать сходимость по вероятности или в среднеквадратическом.
При доказательстве теорем о слабой сходимости используется также следующая важная теорема.
Теорема ({Хелли-Брея).
Пусть
и
- непрерывная ограниченная функция. Тогда
.