Пусть
и
- непрерывная функция. Тогда
.
Доказательство.
Так как подстановка непрерывной функции в ограниченную непрерывную функцию приводит снова к непрерывной ограниченной функции, то доказательство этой теоремы напрямую следует из теорем Хелли-Брея.
Теорема доказана.
Нетрудно показать, что верна также следующая теорема
Теорема (f(P)).
Пусть
и
- непрерывная функция. Тогда
.
Доказательство этой и следующих двух теорем проведите самостоятельно в качестве упражнений.
Теорема (W+P->W).
Пусть
и
Тогда
Теорема (W*P->W).
Пусть
и
Тогда