Пусть для любой
непрерывной ограниченной функции
Тогда
Доказательство.
Идея доказательства аналогична идее доказательства предыдущей теоремы и основана на возможности приблизить ступенчатую функцию непрерывной функцией . Действительно, опять выбирая подходящие точки непрерывности и полагая
видим, что близкие между собой интегралы
можно сделать сколь угодно близкими, соответственно. к интегралам
Теорема доказана.
Так как
,
то последние две теоремы дают необходимые и достаточные условия слабой сходимости в терминах сходимости математических ожиданий от непрерывных ограниченных функций.