Доказательство. Любую непрерывную на всей прямой функцию можно сколь угодно точно приблизить линейной комбинацией ступенчатых функций на любом интервале [-A,A)

Любую непрерывную на всей прямой функцию можно сколь угодно точно приблизить линейной комбинацией ступенчатых функций на любом интервале [-A,A), A>0.

Выберем A так, чтобы точки –A, A и точки разбиения

были бы точками непрерывности функции распределения

Тогда интегралы

одинаковым образом выражаются через значения функций распределения и и могут быть сделаны сколь угодно близкими выбором достаточно большого n. Следовательно, близки и интегралы

Так как функция ограничена, то выбором достаточно большого A можно сделать сколь угодно малыми интегралы

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема.