Сравнение множеств

Теория множеств

Определение множества и элементарные операции над множествами

Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов. Терминология и многие результаты этой теории широко используются в информатике.

Мы часто говорим о стае птиц, наборе фломастеров, коллекции минералов, собрании картин и т.д. Обобщая, можно сказать, что речь идет о множестве некоторых предметов. Термин множество широко применяется в математике. Предметы, входящие в рассмат­риваемое множество, называются его элементами. Кроме основного термина множество, в математике иногда используются его синони­мы: система, семейство, класс и др. Однако эти синонимы используются лишь в целях разнообразия языка, и каждый из них может быть заменен универсальным термином «множество».

Множество является первоначальным, базовым математическим понятием, т.е. никакого определения понятия «множество» не предусматрива­ется. А обращение к общеязыковым словам: стая, набор, коллекция, собрание — это не определение, а лишь пояснение смысла этого понятия. Однако есть одно непремен­ное требование к математическому понятию множество: о каждом предмете, каждом элементе должно быть возможно точное выяснение того, принадлежит ли он рассматриваемому множеству или нет.

Обозначим, например, через F множество всех цифр, используе­мых при десятичной записи чисел. Тогда 5 есть элемент этого мно­жества, 8 тоже его элемент, а 12 и -1 не являются элементами мно­жества F. Но, скажем, множество всех молекул воды, налитой в стакан, не является математически точно определенным вследствие непрерывно происходящих процессов испарения и конденсации.

Пояснения используемых символов:

Î -символ принадлежности элемента (стоит слева) множеству (стоит справа)

Ø — обозначение пустого множества, не содержащего ни одного элемента.

:= по определению равно

Ø логическое отрицание

Ù логическое «И»

Ú логическое «ИЛИ»

Þ логическое следование (если … то …)

" -сокращенно «для всех»

{…} – описание множества

Например:

1. {1,3,5,8} – описание множества путем перечисления его элементов

2. {x|логическое выражение-условие} - описание множества путем задания условия, которому должны удовлетворять элементы.

Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

A Ì B:= { x| x Î A Þ xÎ B}.

В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если A Ì B и Ø (A = B), то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что "M M Ì M.