Дискретные случайные величины

Закон распределения вероятностей. Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Пусть ДСВ принимает значения . Наблюдаемые события заключаются в том, что СВ Х принимают значение , тогда соответствующие вероятности определяют закон распределения ДСВ Х. Его удобно представить в виде таблицы – ряда распределения СВ Х:

Х	x ₁	x ₂,…	x_k	…
p_i	p ₁	p ₂,…	p_k	…

Отметим, что все , кроме того, .

Графически ряд распределения изображается в виде многоугольника распределения. Для его построения возможные значения СВ откладываются по оси абсцисс, а соответствующие им вероятности по оси ординат. Полученные точки соединяются ломаной линией.

Для ДСВ Х функция распределения имеет вид

Числовые характеристики СВ. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма

. (1)

Свойства математического ожидания:

1) Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины

;

2) При умножении СВ на постоянный множитель

Числовой характеристикой рассеивания СВ относительно ее математического ожидания является дисперсия. Дисперсией СВ называется число

Для ДСВ получаем по определению (1):

. (2)

Основные свойства дисперсии:

1) - дисперсия постоянной величины равна нулю;

2) ;

3) .

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ называется квадратный корень из дисперсии

Пример.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ, описываемой рядом распределения:

x_i
p_i	0,3	0,1	0,6

Решение.

Найдем математическое ожидание по формуле (1):

Найдем дисперсию по формуле (2):

Отсюда получаем СКО:

Биномиальный закон распределения. Рассмотрим серию из n независимых испытаний, т.е. таких опытов, в которых вероятность появления того или иного результата не зависит от того, какие результаты наступили или наступят в остальных испытаниях. В каждом из n однотипных опытов некоторое событие А может наступить с вероятностью р (или не наступить с вероятностью q =1- p). Данная схема испытаний называется схемой Бернулли. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно k раз (и не появится n – k раз), выражается формулой Бернулли

. (3)

Закон распределения ДСВ X, равной количеству реализаций события A в серии из n независимых испытаний по схеме Бернулли, называется биномиальным.

Для ДСВ, распределенной по биномиальному закону с параметрами n (количество испытаний) и p (вероятность реализации события A при одном испытании):

Пример.

Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 6 изделий бракованных будет ровно 2?

Решение.

Вероятность брака , тогда . По формуле Бернулли (3): .

Пример.

Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания в цель при каждом выстреле. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения для полученного ряда распределения.

Решение.

Пусть х – число попаданий в мишень. Вероятные значения х есть . Вероятности попаданий вычисляются по формуле Бернулли:

;

Ряд распределения имеет вид:

x_i
p_i	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

Построим многоугольник распределения:

Найдем некоторые значения функции :

;

и т.д.

График функции распределения имеет вид:

Закон распределения Пуассона. В практике инженерных расчетов встречаются задания, использующие схему испытаний Бернулли, для которой общее число опытов n, образующих серию, велико, а вероятность появления события А после одного испытания мала. В таких случаях применяется закон Пуассона:

, (4)

где .

Для ДСВ, распределенной по закону Пуассона:

Пример.

Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

Решение.