Непрерывные случайные величины

Закон распределения вероятностей. Случайная величина Х называется непрерывной, если существует такая функция , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех

Плотность распределения вероятностей обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. (условие нормировки);

4. .

Числовые характеристики случайных величин. Для НСВ с функцией плотности распределения f (x) математическиможиданием называется интеграл

, (5)

а дисперсией

. (6)

Свойства математического ожидания и дисперсии являются общими для НСВ и ДСВ и имеют тот же вид :
, , , . Вновь , а под СКО понимается .

Равномерное распределение. НСВ Х называется распределенной равномерно на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей:

Пример.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение НСВ, распределенной равномерно на отрезке :

Решение.

Найдем математическое ожидание по формуле (5):

Найдем дисперсию по формуле (6):

Можно найти дисперсию и другим способом:

Отсюда, с учетом , получаем:

Нормальный закон распределения. Нормальным распределением (или распределением Гаусса) называется распределение НСВ, для которого плотность вероятности определяется формулой

Для СВ, распределенной по нормальному закону:

Вероятность попадания значений нормально распределенной СВ Х в интервал определяется формулой

, (7)

где Ф (х) – функция Лапласа:

Значения функции Лапласа приведены в приложении. Для этой функции справедливо соотношение

. (8)

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула:

Пример.

Найти вероятность попадания в интервал (4, 9) значений нормально распределенной СВ Х, для которой математическое ожидание равно 8, а среднее квадратическое отклонение равно 1.

Решение.

Применим формулу (7), которая в данном случае примет вид: