Характеристики случайной функции

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называют неслучайную функцию m_x(t), которая при каждом значении аргумента t_i равна математическому ожиданию случайной величины X(t_i).

Дисперсией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию D_x(t), значение которой для каждого t_i равно дисперсии случайной величины X(t_i).

Соответственно, среднее квадратическое отклонение функции X(t) – это неслучайная функция s _х(t) = .

Математическое ожидание и дисперсия не могут дать полного представления о случайной функции. Например, на рис. 4.1 представлены две случайные функции X₁(t) и X₂(t), имеющие одинаковые математические ожидания и дисперсии, но совершенно различную структуру.

Рис 4.1

Эта структура описывается специальной характеристикой – корреляционной функцией, которая отражает степень зависимости между различными сечениями случайной функции.

На рис. 4.1,а приведен пример тесной зависимости сечений случайной функции, соответствующих близким сечениям аргумента t. На рис. 4.1,б, наоборот, эта зависимость выражена слабо. Такая зависимость описывается корреляционным моментом, т.е. математическим ожиданием произведений двух случайных величин:

X⁰(t₁)=X(t₁) – m_x(t₁) и X⁰(t₂)=X(t₂) – m_x(t₂);

K_x (t_1, t₂) = M [ X⁰(t₁) × X⁰(t₂) ]. (4.1)

Таким образом, корреляционной функцией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов, которая при каждой паре значений t₁ и t₂ равна корреляционному моменту К_х(t_1, t₂).