Оптимальные портфели

Оптимизация портфеля ценных бумаг. Модель Марковица

Одной из известных моделей оптимизации портфеля ценных бумаг является портфель Марковица минимального риска.

Пусть имеется n-ценных бумаг. Из них инвестор формирует портфель.

Суть задачи состоит в том, чтобы определить такое оптимальное распределение капитала по ценным бумагам, при котором вариация (дисперсия) портфеля минимальна.

(1)

При условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля .

= const (2)

и (3)

Эта задача является задачей на условный экстремум. Алгоритм ее решения следующий:

1) Формируем функцию Лагранжа

(4)

Необходимым условием экстремума является равенство нулю ее частных производных по всем переменным.

Вычислив производные функции Лагранжа, получаем:

(5)

Решив эту систему n+2 линейных уравнений с n+2 неизвестными (), получаем оптимальные доли .

Пример. Портфель состоит из 3-х видов ценных бумаг, доходности которых являются некоррелированными случайными величинами. Их средние значения и стандартные отклонения равны (все величины даны в процентах). Эффективность портфеля . Определить портфель минимального риска.

Решение.

Система (1)-(3) имеет вид:

Запишем функцию Лагранжа:

Согласно (5) имеем систему:

Разрешаем первые 3 уравнения относительно и

; ;

Подставляя эти выражения в последние 2, получаем уравнения для и

Откуда =-45,287; =5,107

Подставив эти значения в выражения для Х, получаем оптимальные доли:

; ;

Дисперсия портфеля будет

Риск портфеля

Таким образом, минимальная величина риска 1,7% при доходности 10%.

Общий случай. Домашнее задание

; ;

(1)

Приходим к системе

Где

В результате получаем величины , подставив эти значения в формулу (1) получаем ()² и соответственно .

Таким образом, каждому значению доходности портфеля m_p ставится в соответствие минимальная величина риска при соответствующих оптимальных долях.

Задавая различные значения , построить эффективную границу.

Безусловное минимальное значение риска

Определим минимальное значение риска без ограничения эффективности портфеля. В этом случае постановка задачи имеет вид:

(6)

(7)

Выразим х₃ из (7) и подставим в (6).

Необходимым условием экстремума является равенство нулю частных производных.

Откуда ; ;

Вариация портфеля

Риск портфеля меньше минимальной волатильности одной бумаги

Эффективность портфеля

В результате определяем диапазоны изменения параметров портфеля