Теоремы сложения и умножения вероятностей

Для любых двух случайных событий A и B справедливо:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB); P(AB) = P(A)P_А(B).

Если случайные события A и B несовместные, то P(A + B) = P(A) + P(B).

Если случайные события A и B независимые, то P(AB) = P(A)P(B).

Формулы вероятностей суммы и произведения событий обобщаются на любое конечное число случайных событий. В частности:

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC);

P(ABC) = P(A)P_А(B)P_AB(C).

52. Из четных цифр составлены всевозможные двузначные числа. Наугад выбирается одно число. Событие A – извлеченное число делится на 4, событие B – извлеченное число делится на 5, событие C – извлеченное число содержит цифру 8. Найдите вероятности событий A, B, C, A + B, AB, Являются ли события B и AC независимыми? несовместными?

53. Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду в составе 3 человек. Событие A – в команде оказалось менее двух девушек, событие B – в команде только девушки, событие C – в команде только юноши. Есть ли среди этих событий попарно совместны? Вычислите P(A), P(B), P(C), P(A + B).

54. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,5. Какова вероятность хотя бы одного попадания?

55. Имеется два ящика, в каждом по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что они обе стандартные?

56. Имеется два ящика, в каждом из которых по 10 деталей; в первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из первого ящика наугад вынимают две детали, из второго – одну деталь. Какова вероятность того, что ровно две из трёх деталей стандартные?

57. Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну. Какова вероятность, что будут вынуты пики или туз?

58. Слово "ананас" составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди 3 карточки и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что из них образуется слово "сан"?

59. В лабиринте на правильном маршруте имеются 3 развилки, на каждой из которых нужно выбирать одно из двух направлений. Какова вероятность того, что испытуемый пройдет лабиринт с первой попытки?

60. Какова вероятность того, что наудачу выбранное натуральное число делится на 2 или на 5?

61. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятности попадания для них равны соответственно 0,4 и 0,7. Какова вероятность ровно одного попадания?

62. Из карточек с буквами составлено слово "колокол". Карточки перемешиваются, из них случайным образом отбирают 4 и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что они образуют слово "клок"?

63. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность того, что первый шар белый, а второй черный?

64. Какова вероятность того, что наудачу выбранное натуральное число делится на 3 или на 5?

65. В урне 3 белых и 5 черных шаров. По очереди вынимают 2 шара без возвращения. Какова вероятность того, что первый шар черный, а второй белый?

66. Слово "шарада" составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешивают, из них случайным образом берут по очереди и выкладывают в ряд 3 карточки. Какова вероятность того, что из них образуется слово "шар"?

67. Жюри состоит из трёх судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью 0,9, а третий судья для принятия решения бросает монетку. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение?

68. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два неповторяющихся вопроса. Экзаменуемый знает ответы на 35 вопросов. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос билета и на один дополнительный вопрос из другого билета.

69. Имеется 10 ключей, из которых только один подходит к двери. Ключи пробуют подряд. Какова вероятность того, что годный ключ попадёт на четвёртом шаге?

70. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

71. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут 1 белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

72. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

73. На полке в библиотеке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

74. В ящике 10 шаров, из которых четыре окрашены. Взяли три шара. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых шаров окрашен.

75. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

76. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле в мишень попадает только один из стрелков.

77. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

78. Отдел контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

79. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.