Повторение испытаний

Пусть производится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p. Тогда вероятность P_n(m) того, что событие наступило m раз в этой серии испытаний можно вычислить по одной из следующих формул.

1. Формула Бернулли .

2. Формула Пуассона .

3. Локальная теорема Муавра-Лапласа , где (см. таблицу в конце пособия).

Кроме этого, вероятность того, что событие наступит в пределах от m₁ до m₂ раз можно вычислить, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа: , где – функция Лапласа, значения которой даны в таблице в конце пособия.

Наиболее вероятное (наивероятнейшее) число наступлений события в серии из n испытаний m₀ находится в пределах .

105. В некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце восьми дней три дня окажутся дождливыми?

106. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет: а) менее двух раз, б) не менее двух раз.

107. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает пять счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой; б) хотя бы один счет будет с ошибкой?

108. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7.

109. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух пуль и более, если число выстрелов равно 5000.

110. Вероятность того, что любой абонент позвонит на станцию в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.

111. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: a) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

112. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит: а) ровно 75 раз, б) ровно 85 раз?

113. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

114. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

115. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий забраковано не больше 17?

116. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных “гербом” вверх, будет от 45 до 55?

117. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число появлений числа очков, кратного трем.

118. На факультете 731 студент. Вероятность рождения студента в данный день равна 1/365. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января, и вероятность того, что найдутся три студента, родившихся 1 января.

119. В камере хранения ручного багажа 80% всей клади составляют чемоданы, которые вперемешку с другими вещами хранятся на стеллажах. Через окно выдачи были получены все вещи одного стеллажа в количестве 50 мест. Найти вероятность того, что среди выданных вещей было 38 чемоданов.

120. Если в среднем левши составляют 1%, каковы шансы на то, что среди 200 человек окажется ровно четверо левшей?

121. В страховом обществе застрахованы 10000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января 12 руб. страховых, и в случае смерти его родственники получают от общества 1000 руб. Найти вероятность того, что: а) общество потерпит убыток; б) общество получит прибыль, не меньше 40 000, 60 000, 80 000 руб.