Формула полной вероятности и формула Байеса

Если H₁, H₂, …, H_n – полная группа попарно несовместных событий, А – случайное событие, то (формула полной вероятности) и (формула Байеса).

80. В магазин поступили партии обуви с двух фабрик: 30 % – с первой и 70 % – со второй. В продукции первой фабрики 30 % обуви коричневого цвета, в продукции второй – 80 %. Какова вероятность того, что наугад взятая пара обуви окажется коричневого цвета?

81. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных. Из первой коробки во вторую случайным образом переложили один шар, перемешали и извлекли шар из второй коробки. Какова вероятность того, что он белый?

82. В группе спортсменов 20 лыжников и 8 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,8, для бегуна – 0,7. Спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?

83. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,6. Взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что деталь изготовлена во втором цехе?

84. Имеются 2 одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него 1 шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

85. В коробку, содержащую два шара, опущен белый шар, после этого из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров.

86. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

87. Имеются две коробки: в первой 3 белых шара и 2 черных, во второй 4 белых и 4 черных шара. Из первой коробки во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй коробки берут 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

88. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8, 0,9, 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

89. Группа студентов состоит из трёх отличников, пяти хорошо успевающих и восьми занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность события A – студент получит хорошую или отличную оценку.

90. Имеются 3 ящика: в первом 5 белых шаров и 6 черных; во втором 4 белых шара и 5 черных; в третьем 7 белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад один ящик и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что: а) этот шар вынут из первого ящика; б) этот шар вынут из второго ящика; в) этот шар вынут из третьего ящика.

91. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку в первом месте, рыба клюет с вероятностью 0,6; во втором месте – с вероятностью 0,9; в третьем – с вероятностью 0,7. Рыбак, выйдя на ловлю рыбы, закинул удочку, и рыба клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу в первом месте.

92. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

93. Два стрелка, независимо один от другого, стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

94. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

95. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Найти вероятность того, что деталь была извлечена из третьей партии.

96. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – c заболеванием L, 20% – с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7 для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

97. В трех ящиках имеются белые и черные шары. Известно, что во втором и третьем ящиках число шаров одинаково, причем в два раза больше, чем в первом. Про ящики также известно, что во втором ящике черных и белых шаров поровну, в первом ящике белых шаров в 4 раза больше, чем черных, а в третьем ящике черных шаров столько же, сколько и в первом. Из наугад выбранного ящика случайным образом вынимают шар. Какова вероятность того, что он белый.

98. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекаются наугад два мяча для игры, и после игры возвращаются обратно. После этого из ящика вынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что эти оба мяча окажутся новыми.

99. Прибор может работать в двух режимах: А и B. Режим А наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; режим B – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в режиме А равна 0,1, в режиме В – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

100. Имеются два ящика: в первом 2 белых шара и 4 черных; во втором 3 белых и 5 черных. Из первого ящика во второй перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второго ящика берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

101. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй – 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,4; второго – 0,9. Определить полную надежность прибора, поступившего на производство.

102. Из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеются 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на произвольно заданный вопрос. Найти вероятность того, что студент подготовлен отлично.

103. Пассажир может обратиться за билетом в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их места расположения и равны соответственно 0,3, 0,6 и 0,1. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,4, для второй 0,6, для третьей 0,2. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

104. Имеются 2 одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 4 белых и 6 черных шаров, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него 1 шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?