Замечание 7: В линейном программировании для решения систем линейных уравнений используется метод Жордана-Гаусса. Алгоритм нахождения решений системы линейных уравнений данного метода основывается на том, что от заданной системы при помощи эквивалентных преобразований переходят к эквивалентной системе, которая решается «проще». Напомним, что эквивалентными преобразованиями являются:
1) перемена местами двух (и более) уравнений в системе;
2) умножение какого-либо уравнения системы на действительное число с¹0;
3) прибавление к одному уравнению другого уравнения системы, умноженного на произвольное действительное число, отличное от нуля.
Замечание 8: Система линейных уравнений может быть противоречивой, т.е. не иметь решений, например, в том случае, если исходная система или любая эквивалентная ей система содержит уравнение вида:
0*х1+0*х2+0*х3+...+0*хn = b, где b ¹ 0.
Замечание 9: При условии, что все уравнения системы линейно-независимы, система линейных уравнений имеет:
1) одно решение, если число неизвестных совпадает с числом переменных;
|
|
2) бесконечное множество решений, если число неизвестных больше числа уравнений.
Определение 7: Переменная хj называется выделенной (или базисной) в i-ом уравнении системы, если в этом уравнении коэффициент перед хj равен единице (аij = 1), а в остальных – нулю.
Определение 8: Если каждое уравнение системы содержит выделенную переменную, то такая система называется системой с выделенными переменными.
Например, система с выделенными первыми m переменными выглядит следующим образом:
(*)
Замечание 10: Если небазисные переменные приравнять к нулю, то базисные переменные будут равны свободным членам. Очевидно, что такое решение будет являться частным решением системы. Полученное таким образом частное решение системы принято называть базисным.
Например, базисное решение системы (*) имеет вид:
(х1, х2, х3,…хm, хm+1,…хn) = (b1, b2, b3,…bm,0,…0)
Определение 9: Если все переменные в решении системы принимают неотрицательные значения, то такое решение называется неотрицательным.
Замечание 11: Если в исходной системе линейных уравнений или в эквивалентной ей системе в одном из уравнений свободный член положительный, а все коэффициенты при переменных не положительные, то такая система неотрицательных решений не имеет.
Например, система следующего вида не имеет неотрицательных решений:
Так как в первом уравнении коэффициенты а11= -1 £ 0 и а12 = -3£ 0, а свободный член в1=2>0.
Теорема 1 (Критерий оптимальности неотрицательного базисного решения в задачах З.Л.П. на нахождение максимума целевой функции): Пусть в З.Л.П. с выделенными переменными все коэффициенты при небазисных переменных в целевой функции не положительные, а при базисных равны нулю. Тогда базисное решение, соответствующее данному виду З.Л.П., является оптимальным.
|
|
Теорема 2 (Критерий неограниченности значений целевой функции): Пусть в З.Л.П. (на максимум) с выделенными переменными некоторый коэффициент в целевой функции ск >0 при переменной хк, и пусть в системе ограничений перед переменной хк все коэффициенты а’iк £ 0. Тогда значения целевой функции не ограничены на максимум (f max (x)=¥).
Теорема 3 (О возможности перехода от одного базисного решения к другому с не меньшим значением целевой функции): Пусть в З.Л.П. (на максимум) с выделенными переменными в целевой функции некоторый коэффициент ск >0 при переменной хк, и в системе ограничений среди коэффициентов перед этой переменной есть положительные (а’iк >0). Тогда можно перейти от данного базисного решения к другому, с не меньшим значением целевой функции.
Изложенные выше основные теоретические положения позволяют сформулировать алгоритм симплекс-метода для решения З.Л.П.