2015-06-04
3404
Докажем, что полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади, т.е. 
.
Пусть «абсолютно» покоящаяся жидкость ограничена плоской стенкой, наклоненной к горизонту под произвольным углом 
(рис. 2.15).
Требуется определить силу давления 
жидкости на некоторый участок стенки, ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь 
. Чтобы увидеть форму этого участка, провести некоторые построения и найти положение центра тяжести его площади повернём стенку около её ребра на 900, совместив её тем самым с площадью чертежа.
Рис. 2.15. Схема для определения силы давления жидкости
на плоскую стенку
Оси координат свяжем со стенкой и проведем их следующим образом: ось 
совместим с ребром стенки и направим вниз; оси 
и 
расположим в плоскости, перпендикулярной к оси 
; ось 
совместим с линией пересечения свободной поверхности жидкости и стенки.
Выделим на рассматриваемом участке элементарную площадку 
и определим действующую на неё силу 
,
где 
- давление на свободной поверхности;
- глубина расположения площадки 
;
- координата площадки 
.
Для определения полной силы 
проинтегрируем полученное выражение по всей площади 
:
,
Последний интеграл 
представляет собой статический момент площади 
относительно оси 
и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести (точка 
),
,
где 
- ордината центра тяжести 
площади 
.
Следовательно,
.
Учитывая, что глубина погружения центра тяжести 
, и вынося 
за скобки, получим
, (2.21)
где 
- абсолютное давление в точке 
.
В частном случае, когда давление 
является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, то сила избыточного давления 
жидкости на плоскую стенку равна лишь силе давления от веса жидкости 
, т. е.
. (2.22)
Произведение 
представляет собой объем цилиндра с площадью основания 
, и высотой 
. Таким образом, физический смысл выражения (2.22): сила, с которой жидкость действует на плоскую стенку, равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тяжести этой площадки под уровень свободной поверхности.
Формулу(2.22) можно ещё упростить
, (2.23)
где 
- давление в центре тяжести площади 
.
Полученный результат может быть сформулирован так: сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на величину гидростатического давления 
в центре тяжести этой площади. Этот результат справедлив как для силы абсолютного, так и для силы избыточного давления.
Таким образом, сила давления покоящейся жидкости на плоскую стенку не зависит ни от формы стенки, ни от её наклона, а определяется лишь удельным весом жидкости, площадью участка стенки и глубиной погружения центра тяжести этой площади.
Это заключение вошло в литературу под названием гидростатического парадокса. Применительно к плоскому дну сосуда гидростатический парадокс сводится к тому, что сила давления жидкости на дно не зависит от формы сосуда и его дна, а определяется лишь площадью дна, уровнем жидкости в сосуде и её удельным весом.
