Несжимаемой жидкости

Разобьём установившийся параллельноструйный поток на элементарные струйки и, выделив одну из них, определим её мощность в поперечноном сечении 1-1 потока (рис. 3.12).

При этом под мощностью будем понимать энергию жидкости, протекающей через поперечное сечение струйки в единицу времени. Учитывая, что энергия струйки на единицу веса жидкости, равна высоте полного гидродинамического напора и что в единицу времени через поперечное сечение протекает жидкость, вес которой равен весовому расходу струйки , можно записать, что

. (3.20)

А теперь, интегрируя мощность по всей площади живого сечения, получим мощность потока в данном живом сечении:

. (3.21)

Первый из интегралов равен объёмному расходу потока, выраженному через среднюю скорость:

. (3.22)

Что касается второго интеграла, то ясно, что

. (3.23)

Однако это неравенство можно превратить в равенство, вводя поправочный коэффициент

, (3.24).

Подставив (3.22) и (3.24) в уравнение (3.21), получим

.

Отнеся мощность потока к весу жидкости , получим высоту полного гидродинамического напора в данном живом сечении потока:

. (3.25)

Третье слагаемое в выражении (3.25) представляет собой удельную кинетическую энергию (высоту скоростного напора) в данном живом сечении потока.

Из выражения (3.24) следует, что - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока.

При равномерном распределении скоростей по сечению, т.е. при коэффициент . Чем более равномерно распределены скорости, тем меньше отличается коэффициент от единицы.

При равномерном движении жидкости коэффициент приблизительно равен

.

При неравномерном движении значения могут иногда значительно отличаться от единицы. Вместе с тем при выполнении гидравлических расчётов коэффициент часто принимают равным единице, т.е. вовсе не учитывают.

Выражение (3.25) даёт величину полного гидродинамического напора в одном живом сечении потока. Чтобы получить уравнение Бернулли для потока, необходимо сравнить значения полного напора в разных сечениях.

Обозначим средние значения полного напора в сечениях 1-1 и 2-2 через и . Тогда,

, (3.26)

где - суммарные потери полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями.

Запишем уравнение (3.26) применительно к двум сечениям в развёрнутой форме

. (3.27)

Это и есть уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости.

От уравнения (3.19) для элементарной струйки идеальной жидкости оно отличается коэффициентом , учитывающим неравномерность распределения скоростей, и членом , представляющим собой потерю полного напора, а скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями.

Как и уравнение Бернулли в формах (3.17) и (3.18) уравнения (3.19) и (3.27) справедливы лишь при отсутствии инерционных сил переносного движении системы (например, для потока в неподвижном или равномерно и прямолинейно перемещающемся трубопроводе).