Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при +¥ и при –¥, или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика функции и точками некоторой прямой с теми же абсциссами сколь угодно малы. Такую прямую называют асимптотой графика.

Различают асимптоты вертикальные (т. е. параллельные оси орди­нат) и наклонные. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности, т. е. ¥ или ¥.

Очевидно, что непрерывные на функции вертикальных асимптот не имеют; такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода функции . Следовательно, для отыскания верти­кальных асимптот графика функции надо определить те значения , при которых хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен.

Прямая называется наклонной (если — гори­зонтальной) асимптотой графика функции при +¥ ( –¥), если функцию можно представить в виде , где при +¥ ( –¥).

Теорема. Для того чтобы график функции имел на­клонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы су­ществовали конечные пределы: , .