Достаточные условия существования экстремума

Теорема. (первый достаточный признак существования экст­ремума функции). Пусть — критическая точка непрерывной функ­ции . Если при переходе через точку меняет знак с «+» на «—», то — точка локального максимума; если при переходе через точку меняет знак с «—» на «+», то — точка локального минимума; если при переходе через точку не меняет знак, то не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть — точка возможного экстремума, причем >0 и <0 .

Тогда по теореме о достаточном признаке возрастания и убывания функции функция возрастает при (т.е. > ) и убывает при (т.е. < ),

т. е. точка является точкой локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального

минимума.

Если сохраняет знак в окрестности точки , то в этой окрест­ности функция монотонна, т. е. точка не является точкой локаль­ного экстремума.

⊠

На рисунке дана геометрическая интерпретация точки локаль­ного максимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экст­ремума функции). Стационарная точка функции , дважды дифференцируемой в , является точкой локального минимума , если > 0, и точкой локального максимума, если < 0.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и > 0. Тогда в возрастает, но = 0, следовательно, в при переходе через точку меняет знак с «—» на «+». Согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка является точкой локального минимума функции .

Если <0, то в '(х) убывает, но = 0, следова­тельно, в при переходе через точку производная функции меняет знак с «+» на «—» Тогда, согласно первому достаточному признаку существования экстремума функции, точка является точкой локального максимума функции .

⊠