Точки перегиба функции

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз (или вогнутым) на , если дуга кривой для расположена выше любой касатель­ной, проведенной к графику этой функции.

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх (или выпуклым) на , если дуга кривой для расположена ниже любой касатель­ной, проведенной к графику этой функции.

Определение. Точка графика дифференцируе­мой функции , в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак вогнутости (выпуклости)). Если функция на дважды дифферен­цируема и >0 , то график этой функции на вогнутый (выпуклый вниз). Если функция на дважды дифференцируема и < 0 , то график этой функции на выпуклый.

Теорема. Если для функции вто­рая производная в некоторой точке обращается в нуль или не существует и при переходе через нее меняет свой знак, то точка является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть =0 или не существует. Если < 0 в и >0 в , то точка кривой с абсциссой отделяет интервал выпуклости от интер­вала вогнутости. Если > 0 в и < 0 в , то эта точка от­деляет интервал вогнутости от интервала выпуклости кривой. В обоих случаях точка является точкой перегиба графика функции.

⊠

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функ­ции .

Решение. Данная функция определена, непре­рывна и дифференцируема на R, причем

,

,

=0 при ,

<0 при ,

>0 при .

Следовательно, функция выпукла на интервале ]–¥; 2[, вогнута на интервале]2:+¥[, при , точка является точкой перегиба графика функции .