Средняя арифметическая

Определение средней арифметической. Среднее арифметическая есть частное от деления суммы вариант на их число. Она применяется в случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сума значений признака у отдельных ее единиц (например общий фонд заработной платы – как сумма выплаченных заработных плат, общий сбор рожая – как сумма сборов с каждого гектара площади).

Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сложить все отдельные варианты и сумму разделить на их число:

Средняя простая и взвешенная. Приведенная выше формула есть формула средней арифметической простой (невзвешенной).

Если некоторые варианты имеют одинаковые значения, то среднюю арифметическую можно исчислить путем перемножения различных значений вариант на их частоту, а затем сумму произведений вариант разделить на сумму частот:

Примером использования средней взвешенной величины служит расчет среднего балла по группе, полученного за сданный экзамен. К примеру, в группе 25 чел., из них 5 человек получили «отлично», 10 – «хорошо», 8- «удовлетворительно», 2 – «неудовлетворительно», Средний балл по группе можно вычислить и по формуле средней арифметической простой, однако, здесь лучше применить среднюю арифметическую сложную: х=(5*5+10*4+8*3+2*2)/25= 25+40+24+4/25= 93/25=3,72.

Три приема вычисления средней арифметической (выбор формулы для исчисления средней величины). Наиболее часто встречаются следующие приемы вычисления средней арифметической:

1. Если имеются все значения варьирующего признака, полученные в результате наблюдения, то используют формулу средней арифметической простой. Если же данные представлены в виде различных значений вариант и их частот, то применяют формулу средней арифметической взвешенной.

2. Если имеется готовая сумма варьирующих признаков и соответствующая ей численность совокупности, то среднюю арифметическую определяют путем их деления.

3. Вычисление средней арифметической величины на основе вариационного ряда.

Наиболее распространенным является второй случай, так как при разработке отчетности всегда есть данные об общем объеме варьирующих признаков и соответствующей ей численности совокупности. Например, всегда есть валовой сбор зерна и соответствующая ему посевная площадь, что дает в результате деления первого на второе среднюю урожайность зерна. Аналогично, имеется фонд оплаты труда и численность занятых, их отношение дает среднюю заработную плату. Вычисление средней арифметической на основе вариационного ряда.

Если ряд дискретен, то расчет средней арифметической производится по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. варианты умножаются на частоты, а затем сумма произведений делится на сумму частот. Например, в одном из сел Южно-Казахстанской области имеется 200 семей со следующим их распределением по числу детей.

Среднее число детей в семье в данном селе будет равно: х= ∑х / = ∑= 500/200= 2,5 ребенка.

Если же ряд интервальный, то его нужно привести к дискретному виду. Для этого обычно интервал заменяют его средним значением, определяемым как полусумма верхней и нижней границ. Например, на одном из предприятий с численностью рабочих 500 человек, среднемесячная заработная плата находилась в пределах от 26000 до 38 тыс тг. Например, на одном из предприятий с численностью рабочих 500 человек, среднемесячная заработная плата находилась в пределах от 26000 до 38000 тенге. Имеются данные о распределении числа рабочих имеющих заработную плату в интервалах равных 1000 тенге, но нет сведений об общем фонде заработной платы. В этом случае делается следующий расчет:

Статический ряд распределения рабочих по размеру заработной платы на предприятии

В результате среднемесячная заработная плата на данном предприятии составит:

Х= ∑х / = ∑ =16580000/500= 33160 тенге.