Частотные функции и характеристики

Важную роль при исследовании линейных стационарных систем играют частотные характеристики. Они представляют собой еще один способ описания систем.

В общем случае уравнение линейной системы с одним входом мож­но записать в виде

Ее передаточная функция

,

Функцию , которая получается из передаточной функции в изображении Лапласа при подстановке

называют частотной передаточной функцией. Она является комплекснозначной функцией от действительной переменной ω, называе­мой частотой.

Частотную передаточную функцию можно представить в виде

W(jω) = U(ω)+jV(ω) = A(ω)e^jφ(ω)

где , ,

φ(ω) = arg W(jω) = arctg .

На комплексной плоскости частотная передаточная функция W(jω) определяет вектор ОС (рис. 1), длина которого равна А(ω), а аргумент равен углу φ(ω), обра­зованному этим вектором с поло­жительной действительной полу­осью.

Рис. 1.

Годограф этого вектора, т. е. кривую, описываемую концом век­тора W(jω) при изменении частоты от 0 до ∞ или от –∞ до +∞, называ­ют амплитудно-фазовой частот­ной характеристикой (АФЧХ). АФЧХ, получаемую при изменении частоты от -∞ до ∞, также называют диаграммой Найквиста. Модуль А(ω) = |W(j ω)| называют амплитудной частотной функ­цией, ее график — амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент φ(ω) = argW(j ω) называют фазовой частотной функ­цией, а его график (при изменении ω; от 0 до ∞) — фазовой частотной характеристикой.

Частотную передаточную функцию W(jω) называют также ампли­тудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную U(ω) = = ReW(jω) и мнимую V(ω) = Im W(jω) части называют соот­ветственно вещественной и мнимой частотными функциями, а их графики — кривые зависимостей U = U(ω) и V=V(ω) называют соответственно вещественной и мнимой частотными характерис­тиками.

Пример. Построить АФХ по заданной передаточной функции.

, K = 4; T₁ = 0,5; T₂ = 0,2; T₃ = 0,05.

1. Заменяем на , получим амплитудно-фазовую функцию

2. Домножим числитель и знаменатель на величины, комплексно-сопряженные знаменателю, представим в виде совокупности вещественной и мнимой функций.

Отсюда вещественная функция

мнимая функция

Для построения графиков амплитудно-фазовой характеристики, вещественной частотной характеристики и мнимой частотной характеристики используем возможности MatLab. Ниже приведена программа, вычисляющая значения вещественной и мнимой частотных характеристик в 100 точках(значения частоты ).

>>k=4;,T1=0.5;,T2=0.2;,T3=0.05; % вводим параметры передаточной функции.

>> w=logspace(-2,2,100); % задаем 100 значений частоты, от 0,01 до 100.

>>P=4*(1+(T1*T3-T1*T2+T2*T3)*w.^2)./((T1^2*w.^2+1).*(T2^2*w.^2+1)); % вычисляем значения вещественной частотной характеристики.

>>Q=4*(-(T1+T2-T3)*w-(T1*T2*T3)*w.^3)./((T1^2*w.^2+1).*(T2^2*w.^2+1));

% вычисляем значения мнимой частотной характеристики.

>> plot(P,Q) % строим график АФX, рис. 1.

Рис. 1.

>> grid on % рисуем сетку.

>>plot(w,P) % строим график вещественной частотной характеристики, рис. 2.

>> grid on % рисуем сетку.

Рис. 2

>>plot(w,Q) % строим график мнимой частотной характеристики.

>> grid on % рисуем сетку.

Рис. 3

Непосредственное вычисление вещественной и мнимой частей АФХ связано с громоздкими вычислениями. Иногда проще вычислить амплитудно-частотную характеристику и фазо-частотную характеристику и по ним вычислить вещественную и мнимую части АФХ: и .

Ниже приведена программа вычисления АФХ и ФЧХ, с последующим переходом к вещественной и мнимой частям АФХ.

Построенный таким образом график АФХ (рис. 4.) полностью совпадает с ранее построенным графиком (рис. 1.).

>> k=4;,T1=0.5;,T2=0.2;,T3=0.05; % вводим параметры передаточной функции.

>> w=logspace(-2,2,100); % задаем 100 значений частоты, от 0,01 до 100.

>>A=k*((T3^2*w.^2+1)./((T1^2*w.^2+1).*(T2^2*w.^2+1))).^0.5;

% вычисляем значения амплитудно-частотной характеристик.

>> f=-atan(w*T1)-atan(w*T2)+atan(w*T3); % вычисляем значения ФЧХ.

>> plot(A.*cos(f),A.*sin(f)) % строим график АФХ, рис. 4.

>> grid on % строим сетку.

Рис. 4