Временные функции САУ

Изображение выходного сигнала системы управления X(s) может быть найдено как произведение изображения входного воздействия G(s) на передаточную функцию W(s)

X(s) = G(s)·W(s). (1)

Если на вход САУ подаётся единичное воздействие g(t)=1[t], то реакция системы на это воздействие называется переходной функцией и обозначается как h(t). Изображение выходного сигнала при этом будет:

. (2)

Следовательно, чтобы найти переходную функцию необходимо взять обратное преобразование Лапласа от входного сигнала.

. (3)

Импульсной функцией называется реакция системы на δ- воздействие. Учитывая, что изображение δ(t)-функции равно 1, импульсную функцию можно найти, как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции системы

. (4)

где - импульсная функция системы.

Оригинал может быть найден в результате обратного преобразования Лапласа над его изображением

(5)

Вычисление оригинала может быть произведено с помощью вычетов по формуле

(6)

где полюсы функции . При t< 0 следует положить

Рассмотрим случай, когда изображение является дробно-рациональной функцией, т.е представляет собой отношение двух многочленов

(7)

причём m<n и коэффициенты и - действительные. Вычислив корни знаменателя , представим это изображение в виде

(8)

Здесь - кратность корня , причём

Нахождение вычета в полюсе , кратности при t> 0 производится по формуле

ResX(s) e^st = (9)

Пусть все корни знаменателя изображения X(s) простые, т.е k_i(i= 1,2 ,…,n). Так как a ₀ (s_i – s ₁ ) (s_i – s₂)… (s_i – s _i_-1 )…(s_i - s_n)= в этом случаи можно вычислить по формуле

t>0.

При наличии у многочлена A(s) пары мнимых корней s₁=jω₁, s₂= ̶ jω₁ имеем

A(s)=(s-jω₁)(s+ jω₁)A₂(s)=(s²+ω₁²)A₂(s).

x(t)= .

Первые два слагаемых в правой части этого равенства являются комплексно-сопряженными величинами, при сложении их вещественные части удвоятся, а мнимые уничтожатся,

x (t) = Re .

Пример 1.

Найти импульсную функцию для мпульсная функция определяется, как . Изображение имеет единственный полюс к кратности . Получим

Пример 2.

Найти импульсную функцию для .

Импульсная функции .

Пример 3.

Найти импульсную характеристику колебательного звена .

Импульсная функция .

Полюса W(s) имеют кратность 1 и являются комплексно-сопряженными

На основании формулы 9 получим:

Выполнив сокращение одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе, выносим одинаковый для обоих слагаемых множитель получим:

учитывая, что ,

окончательно получим:

Второй способ нахождения оригинала x (t) по известному изображению X (s) заключается в разложении изображения

, m < n на простые дроби.

Это разложение правильной дроби на простые дроби связано с разложением её знаменателя на простые множители. Каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается единственным способом на вещественные множители вида и при этом квадратные множители предполагаются не имеющими вещественных корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные множителями. Вынося старший коэффициент многочлена можно записать разложение этого многочлена в виде:

где натуральные числа.

В алгебре устанавливается, что каждому множителю вида в разложении знаменателя правильной дроби отвечает группа из простых дробей:

а каждому множителю вида (s²+ ps + q) ^l - группа из l простых дробей:

причем - числовые вещественные коэффициенты.

Значение этих коэффициентов определяются следующим образом. Зная форму разложения дроби выполняют операцию сложения. В результате получаем дробь, знаменатель которой равен A (s), а числитель будет представлять многочлен степени не больше , с коэффициентами, зависимыми от A ₁, A ₂… A_k, M ₁… M_l, N ₁… N_l. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях этого многочлена к коэффициентам многочлена получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Решение этой системы даст численные значения коэффициентов.

Пусть дано рациональное выражение .

Её разложение на простые дроби будет иметь вид:

Коэффициенты A ₁, A ₂, A ₃, A ₄, A ₅ определяем исходя из равенства

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа получим систему из пяти уравнений.

s⁴ A ₁+ A ₂

s³ -2 A ₂+ A ₃=0

s²2 A ₁+ A ₂-2 A ₃+ A ₄=2

s¹ -2 A ₂+ A ₃-2 A ₄+ A ₅=13

s⁰ A ₁+2 A ₃-2 A ₅+ A ₅=13

Откуда A ₁=1, A ₂=-1, A ₃=-2, A ₄=-3, A ₅=13.

Окончательно

Теперь чтобы найти оригинал от изображения надо найти оригинал от каждой из простых дробей и полученные оригиналы сложить. Для нахождения оригиналов от простых дробей можно воспользоваться таблицей соответствия между оригиналами и изображениями.