Применение формул Муавра-Лапласа при решении двух основных задач в схеме Бернулли

В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность р близка к 0 (р≠0,р≠1) для вычисления вероятности используют локальную теорему Муавра-Лапласа.

Теорема: если вероятность р наступления соб.А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велики, то вероятность Р_n(m) может быть вычислена по приблизительной формуле:

j(х), где х=

Приблизительное равенство оказывается тем точнее, чем больше n (npq≥20)

Функция j(х).

Выражение j(х)= – формула Гаусса, её график называют кривой вероятности.

Функция j(х) табулирована, но при пользовании таблицей следует учитывать свойства функции j(х):

1º. j(-х)=, т.е. ф-ция четная

2º. j_max(0)=0,3989

3º. при /х/≥4, j(х)=0

Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию , откуда

По таблицам найдем .

Искомая вероятность равна:

Интегральная теорема Лапласа: если вероятность р наступления соб.А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления соб.А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b включительно при достаточно большом числе n≈:

t ₁)- t ₂)

t ₁₌ _, t ₂₌ _,

Ф(х)- интегральная схема Лапласа

Ф(х)= - интегральная формула Лапласа.

Значение ф-ции Ф(х) табулировано. Для применения таблицы необходимо знать свойства ф-ции:

1º. Ф(х)= -Ф(х), т.е нечетная

2º. При х≥5 Ф(х)=0,5; при х≥-5 Ф(х)=-0,5

Пример. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:

В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;

С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20

Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью . Находим . Можно применять формулы Лапласа: