Интегральная теорема Лапласа

Теорема Если вероятность р наступления события А – постоянна, и в каждом из n независимых испытаний , то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

, где ; .

Функция называется интегральной функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она табулирована для Х(см. приложение, табл. 1).

Свойства F(х) (её график показан ниже, на рис. 5):

1. F(х) определена для любого х.

2. F(х) не имеет экстремумов.

3. F(х) имеет одну точку перегиба О(0,0).

4. Имеет две горизонтальные асимптоты.

5. F(х) нечетная, F(-х) = - F(х); симметричная относительно точки О(0,0).

6. Пересекает оси в т. О(0,0).

7. При х = 5 F(х) = 0, 49999997, т.е. практически при F(х) = 0,5.

8. F(х) есть первообразная для - функции Гаусса. Она табулирована (см. табл.1 приложения), её график приведен ниже, на рис. 6.

Итак: , где ; . Формула называется интегральной формулой Лапласа.

Пример Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 32 до 60 раз. n = 100, k₁ = 32, k₂ = 60; Вероятности выпадения и невыпадения герба; ; . Тогда:

.