Момент инерции

Рис. 43. Момент инерции.

Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс точек системы на квадраты их расстояний до оси: J = Sm_ir_i² (J = òr²dm), (8.1).

сложение производится по всему объему тела. Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его оси. Разделим большой цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним радиусом

r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm (8.2).

(т.к. dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r - плотность материала, то dm = r2prhdr (8.3).

и dJ = 2prhr³dr. (8.4).

Момент инерции сплошного цилиндра

J = òdJ =2phr.₀ò^Rr³dr = (1/2).phR⁴r, (8.5).

но так как phR² - объем цилиндра, и его масса m=phR²r, (8.6).

то J=(1/2).mR². (8.7).