Тема 30. Анализ поведения функции нескольких переменных

Основные характеристики функций нескольких переменных и геометрическая интерпретация их свойств. Понятие графика функции многих переменных. Геометрия линий уровня. Непрерывность функции нескольких переменных. Выпук­лость и вогнутость. Свойства линий уровня непрерывных и выпук­лых (вогнутых) функций. Классификация точек локального макси­мума и локального минимума функции многих переменных. Понятие седловой точки.

Анализ поведения функции нескольких переменных с помощью производных первого порядка. Понятие дифференцируемости функции многих переменных и гра­фическая интерпретация. Понятие и геометрическая интерпрета­ция частных производных и полного дифференциала. Градиент функции, его свойства и графическая интерпретация. Понятие производной по направлению, ее связь с градиентом функции. Необходимые условия экстре­мума.

Анализ поведения функции нескольких переменных с помощью производных второго порядка. Понятие и геометрическая интерпретация свойств дважды диф­ференцируемой функции. Понятие гессиана и формулы Тейлора для функции нескольких переменных. Достаточные условия безуслов­ного экстремума функций нескольких переменных.

Нахождение условных экстремумов функций нескольких переменных. Понятие функции Лагранжа. Необходимые условия существования экстремума функции нескольких переменных при наличии ограниче­ний в виде равенств. Достаточные условия экстремума при наличии ограничений в виде равенств.