Основные принципы

1. В экспериментальных материалах предпринята попытка реализовать принципы проблемного обучения. В связи с этим каждое основное задание, предлагаемое в пособии, составляет учебную проблему, решая которую учащийся усваивает тот или иной элемент знаний.

2. Каждый шаг пособия соответствует одной проблемной ситуации.

3. Последовательность шагов (связь между предыдущим и последующим шагом) основана на использовании знаний, приобретенных в предыдущем шаге. Новый (усваиваемый) элемент знаний представлен в неизвестном.

4. Способ учебной деятельности ученика — самостоятельное развернутое решение проблем. В связи с этим каждое задание не содержит в конце возможных ответов учащегося, предназначенных для выбора правильного ответа. В случаях, когда задача трудна для отдельных учащихся, они получают необходимую «помощь» (подсказку) в форме дополнительных сведений (знаний), которыми ученик не владеет и которые он должен усвоить. Для этих учащихся элементы знаний, предъявляемых в «подсказке», составляют дополнительное неизвестное в задаче. Использование их в процессе решения, по существу, совпадает с процессом усвоения этих знаний.

5. Контроль процесса и результатов правильности усвоения, составляющий обратную связь, осуществляется учеником путем сопоставления полученного самостоятельного решения с рядом возможных решений (в том числе ошибочных).

В предлагаемых решениях оценивается каждый ответ (правильно-неправильно), объясняется причина ошибки и правильный способ решения задач. Ученик не может изменить своего решения, так как оно у него записано в тетради. В случае ошибки ученик должен выполнить дополнительное задание (задачу с новыми данными), после чего он может решать следующую новую задачу основной линии программы. По мере продвижения ученика в усвоении учебного материала способ контроля изменяется — от первоначального сопоставления развернутых решений до простого сопоставления лишь с правильным ответом.

6. Индивидуализация осуществляется путем использования:

а) различных видов помощи, к которым могут обращаться слабоуспевающие учащиеся;

б) дополнительных заданий, которые должны выполнить учащиеся, допустившие ошибку.

В тексте программы понятие «помощь» использовано условно. Предлагаемые в этих случаях дополнительные сведения необходимы всем учащимся.

Можете ли Вы найти это расстояние на основании данных, предложенных в условии задачи? Какие дополнительные данные необходимы для решения этой задачи?

Если Вы не можете решить задачу, обратитесь к дополнительным данным для задачи 1.

Проверьте ответ.

Дополнительные данные для задачи 1.

Эта задача только кажется простой. Ее нельзя решить с помощью известных Вам геометрических методов. Ведь мы знаем длину только одной стороны и величину только одного угла.

Вероятно, мы могли бы решить эту задачу, если бы знали, в каком отношении находятся неизвестная сторона а (противолежащая углу А =30°), и известная сторона с (гипотенуза) =100 см. Допустим, что это отношение

равно , т. е. = .

Обучающая программа

Решение многих задач в строительстве, навигации и т. д. основано на знаниях о треугольниках. В этих задачах необходимо по одним, известным, элементам треугольника (углы, стороны) найти величины других, неизвестных, элементов треугольника (угол, сторона). Типичной задачей может быть следующая:

В треугольнике ABC сторона а =5 м, сторона b =10 м, а угол между ними составляет 110.°. Найти длину стороны АВ, противоположной данному углу.

Эту задачу нельзя решить лишь с помощью тех сведений, которые Вы усвоили в курсе геометрии. Для ее решения необходимы знания о тригонометрических функциях.

Задача 1. Предположим, что мы прислонили к стене линейку длиной в 100 см. Угол, образованный между линейкой и полом, равен 30°. Найти высоту стены от пола до точки соприкосновения с линейкой.

Используйте это отношение для решения задачи

Проверка решения задачи 1.

1. Ответ: Сторона а =30 см. Неправильно.

Вы нашли длину катета, противолежащего углу А = 30°, прямо по величине этого угла. Вы поступили неправильно. Нельзя прямо переносить величину угла, выраженную в угловых единицах (градусах), на длину противолежащей стороны, выраженную в других единицах (сантиметрах).

В решении Вы должны были использовать новые дополнительные данные для задачи 1, об отношении между катетом, противолежащим углу А = 30°, и гипотенузой. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий

против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Длина гипотенузы нам известна, она равна 100 см. Вычислите длину катета. Решите задачу 2.

2. Ответ: Сторона я=200 см. Неправильно.

Вы неправильно использовали отношение катета, противолежащего

углу А=30°, к гипотенузе. Это отношение равно .

Значит, а — —. Длина гипотенузы в два раза больше длины катета,

а катет а два раза меньше гипотенузы. Найдите величину катета. Решите задачу 2.

3. Ответ: Сторона а = 50 см. Правильно. Если отношение катета, противолежащего углу в 30°, к гипотенузе

равно ,т. е. = ,тов= ==50сл*.

Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенуза в два раза больше катета, противолежащего углу 30°. Решите задачу 4.

Задача 2. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза с=200 см, угол Л=30°. Найдите величину стороны а.

с =200 ом.

Проверьте ответ.

Проверка решения задачи 2.

1. Ваш ответ: Сторона а =100 см. Правильно.

Решите задачу 4.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза с = 50 см, угол А =30°. Найти величину стороны а.

с = 50 см

Проверьте ответ.

Проверка решения задачи 3.

1. Ответ: Сторона а = 100 см. Неправильно.

Вы опять не поняли смысла отношения катета к гипотенузе, равного

— (или 0,5), и поэтому снова решили задачу неправильно.

Предположим, даны два отрезка а и с. Длина отрезка с = 50 см. Отрезок а относится к отрезку с как 1:2.

Такое же отношение между катетом и гипотенузой в вашей задаче. Решите задачу 2.

2. Ответ. Сторона а = 25 см. Правильно. Переходите к решению задачи 4.

Задача 4. В решении предыдущих задач мы имели прямоугольные треугольники, один из углов которых был равен 30°. Длины гипотенуз каждого треугольника были различны (100 см, 50 см и т. д.) Несмотря на это, мы во всех случаях для нахождения катета, противолежащего углу 30°, использовали одно и то же отношение катета к гипотенузе, равное -. Однако справедливо ли это отношение для всех прямоугольных треугольников, имеющих угол, равный 30°, независимо от длины гипотенузы или катета?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, построим следующий чертеж:

На гипотенузе прямоугольного треугольника непроизвольно отложим точки В', В", В и опустим из них перпендикуляры на сторону АС. Мы получили три треугольника АВ'С, АВ"С"н ABC. Докажите, что

Проверьте Ваше доказательство. Если Вы не можете решить задачу, обратитесь к дополнительному разъяснению к задаче 4.

Дополнительное разъяснение к задаче 4.

По построению углы А СВ', АС"В", АСВ равны 90°, так как они образованы при пересечении стороны АС перпендикулярами, опущенными из точек В', В" и В. Таким образом, мы получили три прямоугольных треугольника. Прямоугольные треугольники, имеющие по одному равному острому углу, являются подобными треугольниками.

Докажите, что

Решение задачи 4.

Рассматриваемые треугольники являются прямоугольными, так как С = С" = С = 90° А — 30° — общий угол. Прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. В подобных треугольниках стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого и сходственные стороны лежат против равных углов треугольников.

Значит,

Отношение между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике при одном и том же противолежащем угле является постоянным. В прямоугольных треугольниках с острым углом, равным 30°, противолежащий катет всегда равен половине гипотенузы. Вы можете убедиться в этом, измерив соответствующие катеты и гипотенузы в прямоугольных треугольниках.

Решите задачу 5.

Задача 5. В предыдущих задачах мы находили величину катета прямоугольного треугольника, противолежащего углу, равному 30°. При этом мы использовали длину гипотенузы и отношение между катетом и гипотенузой, равное 0,5.

В треугольнике ABC острый угол Л = 37°. Гипотенуза АВ = 100 см. Найдите длину стороны а =?

с =100 см

Проверьте решение. Если Вы не можете решить задачу, обратитесь к разъяснению к задаче 5.

Разъяснение к задаче 5.

Вы не могли решить эту задачу, потому что у Вас нет данных о величине отношения для угла, равного, 37°. Нам известно это отношение только для угла 30°, оно равно 0,5 и не зависит от величины катета и гипотенузы при постоянной величине острого угла. Это отношение зависит только от величины соответствующего угла. Оно называется синусом угла (Sin).

Отношения между катетом противолежащего угла и гипотенузой (синусы углов) можно найти для всех углов в прямоугольном треугольнике (от 0° до 90°), измерив и разделив соответственно длину катета, противолежащего каждому углу, на длину гипотенузы. Величины всех этих отношений вычислены и сведены в таблицу синусов. В этой таблице в колонке слева указаны углы от 0° до 90°, а в колонке справа указаны синусы этих углов.

В этой таблице Вы можете найти, что синус угла 30° равен, как Вы уже знаете, 0,5. Найдите синус угла 37° и решите задачу.

Проверка решения задачи 5.

1. Ответ: Сторона а =50 см. Неправильно. Как и в предыдущих задачах, Вы взяли величину синуса угла, равную 0,5. Это было правильно для угла 30°, но неправильно для угла 37°. Найдите синус угла 37°, решите снова задачу и проверьте ответ.

2. Ответ: Сторона а = 166,6 см. Неправильно.

Синус 37° = . По таблице синусов находим, что синус 37°= 0,6. Подставив значение синуса, получаем

2 = 0,6. с

Нам известна длина гипотенузы С = 100 см. Подставив ее значение в полученное выражение, найдите длину катета = 0,6; а =?

Вы сделали все наоборот.

Произведите вычисления и решите дополнительно задачу 6.

3. Ответ: Сторона а = 60 см. Правильно. По таблице синусов находим величину синуса 37°=0,6. Подставив значение синуса в формулу синуса,

получим = 0,6; а = с ■ 0,6: а = 100 см ■ 0,6 = 60 см.

Решите задачу 7.

Задача 6. В треугольнике ABC острый угол А = 40°, гипотенуза с = 50 см. Найдите длину катета а.

Проверьте решение.

Проверка решения задачи 6.

= 0,64; а = с- 0,64 = 50см- 0,64 = 32 см.

Переходите к задаче 7.

Задача 7. Отношение, составляющее синус угла, является одним из ряда отношений между сторонами в прямоугольном треугольнике. Как мы уже определили, синусом угла (например, А) называется отношение стороны, противолежащей углу А, к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, содержащем угол Л.

Синус А — ■ = .

В прямоугольном треугольнике CAB найдите величину синуса угла А.

Проверьте решение Проверка решения задачи 7.

1. Ответ: Синус А = = 0,75. Неправильно.

Синус угла определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Вы взяли отношение катета, прилежащего к углу А, и второго катета, противолежащего этому углу.

Решите задачу вновь. Проверьте решение и решите дополнительную задачу 8.

2. Ответ: Синус А = =0,6. Неправильно. Синус угла определяется

как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Вы взяли отношение длины катета, прилежащего к углу А, и гипотенузы. Решите задачу вновь. Проверьте решение. Решите дополнительную задачу 8.

3. Ответ: Синус А = =0,8. Правильно. Решите задачу 9.

Задача 8. В прямоугольном треугольнике СВА найдите синус угла А. В

Проверьте решение. Проверка решения задачи 8.

Синус А = = 0,5. Правильно.

Решите задачу 9.

Задача 9. Вы, конечно, заметили, что способ определения величины синуса угла не зависит от расположения треугольника. Решите следующую задачу. Предположим, что от верхней точки радиомачты высотой в 40 м к земле натянута проволока. Угол между проволокой и землей составляет 30°. Найти длину проволоки (как Вы помните, синус 30°= 0,5).

Проверьте решение.

Если Вы считаете, что приведенные в условии задачи данные недостаточны для ее решения, обратитесь к дополнительным сведениям к задаче 9.

Дополнительные сведения к задаче 9.

Приведенных данных вполне достаточно для решения этой задачи. Если Вы построите на основании данных условий задачи соответствующий прямоугольный треугольник, то в этом треугольнике нужно будет найти длину гипотенузы.

Вам известно, что Sin A = -. с

Известны также величина синуса угла А (0,5) и высота радиомачты (40 м). Неизвестна только одна величина — длина проволоки (с=?). Теперь найдите ее.

Проверка решения задачи 9.

1. Ответ: Длина проволоки равна 20 м. Неправильно. Вы умножили длину гипотенузы на синус угла и получили 40 м ■ 0,5 = 20 м. Разве это правильно?

Вы построили прямоугольный треугольник ABC, в котором угол А = 30°. а противолежащий катет а = 40 м. Нужно найти длину гипотенузы с.

Вы знаете, что

Вам известна величина синуса (0,5) и величина стороны а (40 м).

Тогда 0,5= —. Откуда с = — =? с 0,5

Найдите длину с и решите дополнительную задачу 10.

2. Ответ: Длина проволоки равна 80 м. Правильно. Sin 30° = а: с; с = а: Sin 30° = 40:0,5 = 80 м.

Для того чтобы найти длину гипотенузы, нужно разделить длину катета на синус противолежащего угла.

Решите задачу 11.

Задача 10. Найдите длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике ABC, если сторона а = 50 м, а угол А = 45°. (Величину синуса угла найдите по таблице.)

Проверьте решение.

Проверка решения задачи 10.

В треугольнике ABC нужно найти длину гипотенузы с.

Sin45° = a: с;с=а: &'«45° = 50: 0,71 = 70ж.

Для того чтобы найти длину гипотенузы, нужно разделить длину катета на величину синуса угла. Решите задачу 11.

Задача 11. Возьмите те же данные, что и в решенной Вами задаче 9.

В

Высота радиомачты а = 40 м, длина проволоки, натянутой от вершины радиомачты к земле с = 80 м, угол между проволокой и землей А = 30°. Нужно найти расстояние от точки крепления проволоки на земле до основания радиомачты, т. е. нужно найти расстояние b =?

Если Вы считаете, что приведенные в условии задачи данные недостаточны для решения, обратитесь к дополнительным сведениям для решения задачи 11.

Проверьте решение.

Дополнительные сведения для решения задачи 11.

Приведенные в задаче данные действительно недостаточны для решения задачи.

До сих пор мы изучили лишь одно из отношений между сторонами в прямоугольном треугольнике. Это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы, составляющее синус данного угла. В решаемой задаче неизвестна длина прилежащего катета. Отношение прилежащего катета к длине гипотенузы составляет косинус этого угла (сокращенно Cos).

>

Величину косинуса угла также можно найти в таблице, где против соответствующего угла указана в колонке справа величина его косинуса. Теперь найдите расстояние Ь.

Проверка решения задачи 11.

1. Ответ: Из теоремы Пифагора известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

с² = а² + Ь\ Используя эту формулу, находим

Это один из двух путей решения задачи. Но Вы не использовали для решения величину угла/4 = 30°. Ваш способ решения был бы правильным, если бы в условии задачи не было дано величины угла А. Проверьте полученный Вами ответ другим способом.

2. Ответ: Длина стороны Ь = 40м.

Вы нашли величину косинуса утла не в колонке косинусов, а опять в колонке синусов, т. е. Вы использовали для определения катета, прилежащего к углу, не величину косинуса, а опять величину синуса. Величина косинуса угла 30°=0,87. Вы помните, что Cos А = -, т. е. b = Cos А- с. Найдите

с величину катета. Проверьте ответ. Решайте задачу 12.

3. Ответ: Длина стороны Ь = 70 м. Правильно. CosA = -;b- Cos А-с;

с Ь = 0,87 • 80 = 69,6 м или около 70 м. Решите, задачу 12.

Задача 12. Теперь Вы знакомы с отношениями, определяющими синус и косинус. Они составляют соответственно синус А = -; косинус А —

г, СС

Решите следующую задачу. К стене прислонили линейку длиной 100 см. Угол между стеной и линейкой составляет 43°. Найдите расстояние между основанием стены и нижним концом линейки.

Функцию угла найдите по таблице. Проверьте решение.

Проверка решения задачи 12.,

1. Ответ: Расстояние между основанием стены и нижним концом линейки равно 73 см. Вам нужно было найти длину противолежащего катета. Вы использовали для этого отношение, составляющее величину косинуса угла 43°. Но ведь I............х

прилежащий катет

косинус угла = —---------------------.

гипотинуза

Значит, Вы искали величину катета, прилежащего к углу в 43°, т. е. высоту стены до точки соприкосновения с линейкой, а не длину противолежащего катета. Для решения задачи нужно использовать величину синуса угла. Найдите длину противолежащего катета и решите дополнительную задачу 13.

2. Ответ: Расстояние между основанием стены и нижним концом линейки равно 68 см. Правильно.

Для того чтобы найти величину противолежащего катета, нужно использовать синус этого угла. Решите задачу 14.

Задача 13. Как и в предыдущей задаче, к стене прислонили линейку длиной 100 см. Но теперь измерили угол между полом и линейкой, он равен 40°. Найдите расстояние между основанием стены и концом линейки.

Проверьте решение.

Проверка решения задачи 13.

1. Ответ: Расстояние между основанием стены и концом линейки равно 64 см.

Вы опять перепутали. Здесь нужно было найти величину прилежащего катета, поэтому нужно было использовать не синус, а косинус угла 40°. Найдите расстояние между основанием стены и концом линейки. Проверьте решение в следующем ответе.

2. Ответ: Расстояние между основанием стены и концом линейки равно 76,6 см.

Правильно. В этом случае нужно найти длину прилежащего катета. Для того чтобы найти величину прилежащего катета, нужно использовать функцию косинуса угла.

Решайте задачу 14.

Задача 14. В авиации направление полета часто определяется по отношению к линиям Север-Юг, Запад-Восток. Летчику известно, что расстояние предстоящего полета по линии Юг-Север в сторону Севера по прямой равно 1200 км. Известно также, что трасса полета пройдет под углом в 37° к линии Юг-Север в сторону Востока. Найдите расстояние, которое должен пролететь самолет.

Проверьте решение.

Проверка решения задачи 14.

1. Ответ: Путь самолета равен 720 км.

Вероятно, Вы умножили 1200 км на величину синуса угла, равную 0,60.

Вам нужно найти величину гипотенузы по величине угла и величине катета, прилежащего к этому углу. Но как Вы помните, прилежащий катет входит только в формулу косинуса угла:

Косинус А =

Найдите путь самолета. Проверьте решение.

2. Ответ: Путь самолета равен 960 км. Вероятно, Вы умножили 1200 км на величину косинуса угла 37°, равную 0,8.

Но ведь косинус угла =

Вам нужно найти гипотенузу. Разве здесь можно использовать умножение?

Вычислите длину пути самолета. Проверьте решение.

3. Ответ: Путь самолета равен 2000 км.

Вы получили этот ответ, разделив 1200 км на величину синуса угла37°. Но ведь Вам нужно найти гипотенузу по величине прилежащего катета. Вы же использовали данный Вам катет как противолежащий катет. Прилежащий катет входит только в косинус угла.

Косинус угла =

4. Ответ: Путь самолета равен 1500 км.

Правильно. Здесь нужно было разделить длину прилежащего катета на величину косинуса угла.

Приведенный пример иллюстрирует возможности создания проблемных ситуаций в программированном пособии. Главная особенность обучающих программ, включающих проблемные ситуации, заключается в том, что в них должны быть созданы все условия, обеспечивающие возможности решения их учащимися. Реализованная в пособии общая схема управления учебной деятельностью включает:

а) проблемное задание;

б) сведения, подлежащие усвоению и необходимые для выполнения проблемного задания (подсказка);

в) обратную связь, обеспечивающую возможности контроля за правильностью выполнения поставленного проблемного задания.

Эта схема позволяет эффективно управлять процессом усвоения в условиях программированного обучения.