Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Как и для систем алгебраических уравнений одним из методов решения является метод исключения. С его помощью решение системы сводится к решению одного дифференциального уравнения второго порядка. Поясним этот метод на примере решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример 12. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Исключим из первого уравнения неизвестную функцию z. Для этого сначала продифференцируем его по t.

Затем подставим из второго уравнения

. (1)

Выразим из первого уравнения

. (2)

Подставим полученное выражение для в (1)

(3)

Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Корни характеристического уравнения равны

Тогда общее решение (3) имеет вид

Чтобы найти , подставим в (2) выражения для и .

Итак, получили общее решение системы

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определения дифференциального уравнения, его общего и частного решений. Сформулируйте задачу Коши для уравнения первого порядка и укажите его геометрический смысл.

2. Изложите метод решения уравнений с разделенными и разделяющимися переменными.

3. Сформулируйте определение линейного уравнения первого порядка. Изложите метод подстановки для нахождения его общего решения.

4. Как интегрируются уравнения вида F(x, y¢, y¢¢)=0, F(y, y¢, y¢¢)=0?

5. Какой общий вид имеет линейное уравнение второго порядка (однородное и неоднородное)? Какие решения его называются линейно-независимыми? Как получить общее решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами?

6. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

д) . Ответ: .